Limite de fonctions
Le sommaire
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I. Limite infinie d'une suite numérique.
II. Limite finie d'une suite numérique.
III. Suites convergentes.
IV. Limites des suites de référence.
V. Opérations sur les limites.
VI. Théorèmes de comparaison.
VII. Limite d'une suite géométrique.
VIII. Exercice bilan sur les suites arithmético-géométrique.
La définition de d'Alembert
Introduction : Conjectures graphiques de limites.
Limite lorsque $x$ tend vers $+∞$ ou $-∞$
♦ limite infinie lorsque $x$ tend vers $+∞$ ou $-∞$
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Définition : On dit que la fonction $f$ admet pour limite $+∞$ lorsque $x$ tend vers $+∞$ si tout intervalle ouvert de la forme $]A ; +∞[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment grand et on note : $\lim\limits_{ x \to +\infty }f(x)=+\infty$ Traduction en langage mathématique : $\lim\limits_{ x \to +\infty }f(x)=+\infty$ ⇔ $∀A∈ℝ$, $∃$ $x_0$ tel que $∀\; x ≥ x_0$, $f(x)>A$. |
Remarque : On définit de façon analogue :
♦ limite finie lorsque $x$ tend vers $+∞$ ou $-∞$
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Définition : Soit $l$ un nombre réel. On dit qu’une fonction $f$ a pour limite $l$ en $+∞$ , si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment grand et on note $\lim\limits_{ x \to +\infty }f(x)=l$ Traduction en langage mathématique : $\lim\limits_{ x \to +\infty }f(x)=l$ ⇔ $∀$ $I$ intervalle ouvert contenant $l$, $∃$ $x_0$ tel que $∀\; x ≥ x_0$, $f(x)∈I$. |
Limite lorsque $x$ tend vers a
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Définition : Soit a un nombre réel. On dit que la fonction $f$ admet pour limite $+∞$ lorsque $x$ tend vers $a$ si tout intervalle de la forme $]A ; +∞[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment proche de $a$ et on note : $\lim\limits_{ x \to a }f(x)=+\infty$ Définition : On dit que la fonction $f$ admet pour limite $-∞$ lorsque $x$ tend vers $a$ si tout intervalle ouvert de la forme $]-∞ ; B[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment proche de $a$ et on note : $\lim\limits_{ x \to a }f(x)=-\infty$ |
Remarque : Certaines fonctions on des limites différentes selon qu’on approche le nombre a par valeurs supérieures ( x → a et x > a ) ou par valeurs inférieures ( x → a et x < a ) on parle alors de limite à droite en a et limite à gauche en a.
Point Méthode : Déterminer graphiquement les limites d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition.
lim fn usuelles
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Point Méthode : Déterminer les limites des fonctions de références.
ope lim 1
♦ Limite d'une somme de fonctions
Propriété :
Point Méthode : Déterminer la limite d'une somme de fonctions exemple 1
Point Méthode : Déterminer la limite d'une somme de fonctions exemple 2
op lim 2
♦ Limite d'un produit de fonctions
Propriété :
Point Méthode : Déterminer la limite d'un produit de fonctions niveau 1
Point Méthode : Déterminer la limite d'un produit de fonctions niveau 2
Point Méthode : Déterminer la limite d'un polynome en +∞ ou -∞ .
op lim 3
♦ Limite d'un quotient de fonctions
Propriété :
Point Méthode : Déterminer la limite d'une fonction rationnelle en +∞ ou -∞
Point Méthode : Déterminer une limite infinie en un nombre Niveau 1
Point Méthode : Déterminer une limite infinie en un nombre Niveau 2
asymptote
♦ Asymptote horizontale.
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Définition : On dit que la droite d'équation y=l est asymptote horizontale à la courbe représentative d'une fonction f en +∞ lorsque f a pour limite l lorsque $x$ tend vers $+∞$ $\lim\limits_{ x \to +∞ }f(x)=l$ Définition :
On dit que la droite d'équation y=l est asymptote horizontale à la courbe représentative d'une fonction f en -∞ lorsque f a pour limite l lorsque $x$ tend vers $-∞$ $\lim\limits_{ x \to -∞ }f(x)=l$
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Point Méthode : Déterminer une asymptote horizontale en +∞ ou - ∞
♦ Asymptote verticale.
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Définition : On dit que la droite d'équation x=a est asymptote verticale à la courbe représentative d'une fonction f lorsque f a pour limite +∞ ou -∞ lorsque $x$ tend vers $a$ $\lim\limits_{ x \to a }f(x)=+∞$ Remarque : Une fonction f admet une asymptote verticale en a indépendament que ce soit la limite à droite ou à gauche de a qui soit +∞ ou -∞ |
Point Méthode : Traduire l'existence d'une asymptote par une limite
th de comparaison
♦ Limite infinie et théorème de comparaison.
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Théorème de comparaison : Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ] A ; + ∞ [ telles que : ∀x>a f(x)≥g(x)
♦ si lim (x→ +∞) g(x) = +∞ alors on peut affirmer que lim (x→ +∞) f(x) = +∞. ♦ si lim (x→ +∞) f(x) = = -∞ alors on peut affirmer que lim (x→ +∞) g(x) == -∞.
♦ $\lim\limits_{ x \to +∞ }f(x)=+∞$ alors Remarque : On peut appliquer le théorème de comparaison de façon analogue en - ou en un nombre a. |
Point Méthode : Déterminer une limite avec le théorème de comparaison
♦ Limite finie et théorème d'encadrement.
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Théorème des gendarmes : Soit f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle ]a ; +∞[, a réel, telles que pour tout x > a, on a g(x) ≤ f(x) ≤ h(h). Si im (x→ +∞) g(x) = l et im (x→ +∞) h(x) = l alors im (x→ +∞) f(x) =l
♦ $\lim\limits_{ x \to +∞ }f(x)=+∞$ alors Remarque : On peut appliquer le théorème de comparaison de façon analogue en - ∞ |
Point Méthode : Déterminer une limite avec le théorème d'encadrement.
fn exp
♦ Limites de la fonction exponentielle.
Propriété ( démonstration exigible )
$\lim\limits_{ x \to +∞ } e^x =+ \infty$
Propriété ( démonstration exigible )
$\lim\limits_{ x \to -∞ } e^x =0$
Point Méthode : Calculer une limite avec la fonction exp
croissance comparée
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Propriété : ( démonstration exigible ) ♦ ∀ n ∈ ℕ $\lim\limits_{ x \to +∞ } e^x / x= +\infty $ ♦ ∀ n ∈ ℕ $\lim\limits_{ x \to -∞ } x ^n e^x= 0 $ Remarque : Dans le cas de limites infinies, la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. Sa croissance est plus rapide. |
Point Méthode : Calculer une limite par croissance comparée
calculateur de limite
Outil : Calculateur de limite de fonctions
Les savoir-faire du parcours.
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Les savoir-faire du Chapitre : Limite d'une fonction. |
♦ Savoir conjecturer graphiquement une limite en +∞.
♦ Savoir conjecturer graphiquement une limite en -∞.
♦ Savoir conjecturer graphiquement une limite en un nombre.
♦ Savoir déterminer graphiquement les limites d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition.
♦ Savoir construire une courbe avec un tableau de variations.
♦ Savoir déterminer les limites des fonctions de référence.
♦ Savoir déterminer la limite d'une fonction polynôme en +∞ ou -∞.
♦ Savoir déterminer la limite d'une fonction rationnelle en +∞ ou -∞.
♦ Savoir déterminer une limite infinie en un nombre niveau 1.
♦ Savoir déterminer une limite infinie en un nombre niveau 2.
♦ Savoir calculer une limite avec les formules d'opérations.
♦ Savoir démontrer qu'une droite est asymptote horizontale á une courbe.
♦ Savoir démontrer qu'une droite est asymptote verticale á une courbe.
♦ Savoir associer limites et asymptotes parallèles aux axes.
♦ Savoir déterminer une limite avec le théorème de comparaison.
♦ Savoir déterminer une limite avec le théorème d'encadrement.
♦ Savoir déterminer une limite avec exp.
♦ Savoir déterminer une limite par croissance comparée.
Démonstrations exigibles
♦ Lim e^x =
♦ Limite de $q^n$ avec $q>1$.