Rappels sur la dérivation
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♦ Le cours à compléter : |  |
♦ Le cours complété : | |
I. Nombre dérivé.
II. Fonctions dérivées.
III. Tangente à une courbe.
IV. La fonction exponentielle.
V. Études de fontions.
rappels sur les fonctions de ref
Définition :
La fonction exponentielle est définie sur ℝ par exp : x↦e^x
C'est l'unique fonction qui vérifie ( e^x ) ' = e^x et e^0=1.
Propriété ( admise ) :
La fonction exponentielle est stritement positive sur $\mathbb{R}$ : $∀ x ∈ \mathbb{R}, e^x > 0$
♦ propriétés
Propriété : Pour tous nombres réels $x$ et $y$ et pour tout entier relatif $n$, on a :
♦ $e^0=1$ ♦ $e^1=0$ ♦ $e^{x+y}=e^xe^y$ ♦ $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$ ♦ $e^{x-y}=\frac{e^x} {e^y}$ ♦ $e^{nx} =\left(e^x\right) ^n$
Point Méthode : Simplifier une expression avec e^x
rappel fonction exp
Nombre dérivé
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a+h deux nombres de I.
lorsque t = ( f(a+h) - f(a) )/h admet pour limite un nombre lorsque h tend vers 0,
on dit que f est dérivable en a et que le nombre dérivé de f en a est : f'(a)=lim (h→0) ( f(a+h) - f(a) )/h
Point Méthode :
Outil : Calculateur denombre dérivé :
♦ Interprétation graphique :
fn derivee
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
♦ Lorsque f est dérivable en tout nombre x de I on dit que f est dérivable sur I.
♦ Lorsque f est dérivable sur I on peut définir la fonction qui a tout nombre x de I associe le nombre dérivé de f en x.
On appelle cette fonction la fonction dérivée de f et on la note f' : x → f'(x)
♦ Fonctions dérivées des fonctions de référence.
Propriété :
♦ La fonction f : x → k ( k ∈ ? ) est dérivable sur ? et sa dérivée a pour expression : f' : x → 0
♦ La fonction f : x → mx+p est dérivable sur ? et sa dérivée a pour expression : f' : x → m.
♦ La fonction f : x → x2 est dérivable sur R et sa dérivée a pour expression : f' : x → 2x
♦ La fonction f : x → x3 est dérivable sur R et sa dérivée a pour expression : f' : x → 3x2
♦ La fonction f : x → 1 / x est dérivable sur ] -∞ ; 0 [ U ] 0 ; +∞ [ et sa dérivée a pour expression : f' : x → -1 / x2
♦ La fonction f : x → √x est dérivable sur ] 0 ; +∞ [ et sa dérivée a pour expression : f' : x → 1 / 2√x
♦ La fonction f : x → ex est dérivable sur R et sa dérivée a pour expression : f' : x → ex
operation sur les derivees
♦ Dérivée de k u, dérivée d'une somme de fonctions.
Propriété : Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un nombre réel.
♦ la fonction ku (k ∈ ? ) est dérivable sur I et (k u )' = k u'
♦ la fonction u+v est dérivable sur I et (u + v )' = u' + v'
♦ Dérivée d'un produit de fonctions.
Propriété : Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Alors la fonction u × v est dérivable sur I et ( u v )' = u'v + v'u
Point Méthode :
♦ Dérivée d'un quotient de fonctions.
Propriété : Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et v qui ne s'annule pas sur I.
♦ Alors la fonction 1 / v est dérivable sur I et ( 1 / v)' : x ? - v' / v2.
♦ Alors la fonction u / v est dérivable sur I et ( u / v )' = ( u'v - v'u ) / v2
Point Méthode :
Outil : Calculateur de fonction dérivée d'un produit ou d'un quotient de fonctions
♦ Dériver une fonction avec exp.
Point Méthode :
Tangente à une courbe
♦ Définition.
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Définition : Soit f une fonction dérivable en a et A ( a ; f(a) ) appartenant à Cf. On appelle tangente à Cf en A , la droite passant par A et qui a pour coefficient directeur f'(a). |
Point Méthode :
Si la tangente à une courbe nous est donnée, on peut déterminer le nombre dérivé par lecture graphique.
♦ Équation réduite de la tangente à une courbe.
Propriété :
Soit f une fonction dérivable en a et A ( a ; f(a) ) appartenant à Cf.
La tangente à Cf en A a pour équation TA : y = f'(a) ( x - a ) + f(a).
Point Méthode :
Outil : Calculateur d'équation réduite de tangente à une courbe :
signes dérivées
Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
♦ ∀ x ∈ I, f'(x)>0 ⇔ f est croissante sur I.
♦ ∀ x ∈ I, f'(x)<0 ⇔ f est décroissante sur I.
Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. c un nombre de I .
Alors si f' s'annule en c en changeant de signes, alors f admet un extremum en c.
études de variations
Point Méthode :
Point Méthode :
Point Méthode :
Savoir-faire
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Les savoir-faire du Chapitre : Rappels sur la dérivation. |
♦ Savoir calculer un nombre dérivé cas général.
♦ Savoir appliquer les formules de dérivées des fonctions de référence.
♦ Opérations sur les fonctions dérivées.
♦ Savoir dériver une fonction polynôme.
♦ Savoir dériver un produit de fonctions.
♦ Savoir dériver l'inverse d'une fonction.
♦ Savoir dériver un quotient de fonctions.
♦ Savoir dériver une fonction avec exp.
♦ Savoir déterminer graphiquement un nombre dérivé.
♦ Savoir déterminer graphiquement l'équation d'une tangente à une courbe.
♦ Savoir construire une tangente à une courbe.
♦ Savoir déterminer l'équation d'une tangente par le calcul.
♦ Savoir compléter un tableau de variations avec le signe de la dérivée.
♦ Savoir établir le tableau de signes d'une fonction dérivée avec une courbe.
♦ Savoir construire une courbe avec le signe de la dérivée.
♦ Savoir déterminer les extremums d'une fonction.
♦ Savoir étudier les variation d'un polynome du 3° degré.
♦ Savoir étudier les variations d'une fonction rationnelle.
♦ Savoir étudier une avec la fonction exponentielle.
♦ Savoir déterminer la position relative de deux courbes.
♦ Savoir étudier la position relatives de la courbe de exp et y=x.
