Équations de droites et de cercles
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♦ Le cours à compléter : |  |
♦ Le cours complété : | |
I. Vecteurs directeurs et équations cartésiennes de droites ( rappels ).
II. Vecteurs normal et équations cartésiennes de droites.
III. . Équations cartésiennes de cercles.
vecteurs directeurs rappels
♦ Vecteurs directeur d'une droite.
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Définition : Soit (d) une droite. On appelle vecteur directeur de (d) tout vecteur non nul ayant la même direction que (d) Remarque : Une droite a une infinité de vecteurs directeurs |
♦ Définition d'une droite par un point et un vecteur directeur.
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Propriété : Soit (d) la droite de vecteur directeur u. et passant par le point A. pour tous points M de (d) les vecteurs AM et u sont colinéaires. |
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Une droite est entièrement définie par un point et un vecteur directeur.
Définition : La droite (d) de vecteur directeur u et passant par le point A est l'ensemble des points M tels que AM et u sont colinéaires. |
Équations cartésiennes
Propriété :
Soit (d) une droite , alors il existe a , b et c trois nombres ( a ; b ) ≠ ( 0 ; 0 ) tels que
tous les points M ( x ; y ) de (d) ont leurs coordonnées qui sont solution de l'équation (E) : ax+by+c=0.
Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite (d).
u ( -b ; a ) est un vecteur directeur de (d)
Remarque :
Une droite a une infinité d'équations cartésiennes obtenues selon le vecteur directeur ou le point choisis.
Point Méthode : Déterminer si un point appartient ou non à une droite en utilisant une équation cartésienne.
Point Méthode : Déterminer un vecteur directeur en utilisant une équation cartésienne.
♦ Déterminer une équation cartésienne par le calcul
Point Méthode : Déterminer une équation cartésienne d'une droite.
♦ Déterminer une équation cartésienne graphiquement.
Vecteur normal
♦ Vecteur normal à une droite.
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Définition : Soit une droite (d). On appelle vecteur normal à une droite (d), un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de (d). Propriété : Soit une droite (d) ax+by+c=0 u ( -b ; a ) est un vecteur directeur de (d) donc n ( a ; b ) est un vecteur normal à (d). |
Point Méthode : Déterminer un vecteur normal à une droite.
Point Méthode : Déterminer une équation cartésienne de droite avec un vecteur normal.
Configuration de deux droites
♦ Droites parallèles.
Propriété :
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont un vecteur normal en commun.
Point Méthode : Déterminer si l'équation cartésienne d'une droite parallèle passant par un point donné.
♦ Droites perpendiculaires.
Propriété :
Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs orthogonaux.
Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si elles ont des vecteurs normaux orthogonaux.
Point Méthode : Déterminer si l'équation cartésienne d'une droite perpendiculaire passant par un point donné.
♦ Point d'intersection.
Point Méthode : Déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux droites.
Point Méthode : Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite.
Équation de cercle
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Propriété : Une équation du cercle de centre A(xA ; yA) et de rayon r est : (x − xA)2 + (y − yA)2 = r2 Remarque : M ( x ; y ) ∈C⇔ AM 2 = r 2 |
Point Méthode : Déterminer une équation cartésienne de cercle
Point Méthode : Déterminer les coordonnées du centre et le rayon d'un cercle.
Les savoir-faire du chapitre.
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Les savoir-faire du Chapitre : Équations cartésiennes. |
♦ Savoir déterminer graphiquement un vecteur directeur d'une droite.
♦ Savoir déterminer un vecteur directeur d'une droite avec une équation cartésienne.
♦ Savoir déterminer si un point appartient à une droite.
♦ Savoir construire une droite avec une équation cartésienne.
♦ Savoir determiner graphiquement une équation cartésienne d'une droite.
♦ Savoir déterminer une équation cartésienne avec un point et un vecteur directeur.
♦ Savoir déterminer une équation cartésienne avec deux points.
♦ Savoir déterminer l'équation d'une droite avec un vecteur normal.
♦ Savoir déterminer si 2 droites sont parallèles.
♦ Savoir déterminer les coordonnées du point d'intersection de 2 droites.
♦ Savoir déterminer si deux droites sont perpendiculaires.
♦ Savoir déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite.
♦ Savoir déterminer l'équation d'un cercle connaissant son centre et son rayon.
♦ Savoir déterminer l'équation d'un cercle connaissant son centre et un point du cercle.
♦ Savoir déterminer le centre et le rayon d'un cercle d'après une équation.