Fonction dérivée.

I. Fonctions dérivées des fonctions de références.

II. Opérations sur les fonctions dérivées.

III. Tangente à une courbe.

IV. Fonction dérivée et sens de variations.

Définition  : Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

♦ Lorsque f est dérivable en tout nombre x de I on dit que f est dérivable sur I.

♦ Lorsque f est dérivable sur I on peut définir la fonction qui a tout nombre x de I associe le nombre dérivé de f en x.

On appelle cette fonction la fonction dérivée de f et on la note f' : x → f'(x)

Propriété  :

La fonction f : x → k ( k ∈ ? ) est dérivable sur ? et sa dérivée a pour expression : f' : x → 0

Propriété  :

La fonction f : x → mx+p est dérivable sur ? et sa dérivée a pour expression : f' : x → m

Propriété :

La fonction f : x → x3 est dérivable sur R et sa dérivée a pour expression : f' : x → 3x2

Propriété ( démonstration exigible ) :

La fonction f : x → 1 / x  est dérivable sur ] -∞ ; 0 [ U ] 0 ; +∞ [ et sa dérivée a pour expression : f' : x → -1 / x2

Propriété  :

La fonction f : x →   est dérivable sur ] 0 ; +∞ [ et sa dérivée a pour expression : f' : x → -1 / 2

Propriété  :  Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et qui ne s'annule pas sur I.

Alors la fonction 1 / u : x ? 1 / u(x)  est dérivable sur I et sa dérivée a pour expression : ( 1 /  u )' : x ? - u'  / u2.

On écrit :( 1 / u )' = -u' / u2

Point Méthode :

Propriété (démonstration exigible ) :  Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I v ne s'annulant pas sur I.

Alors la fonction u / v : x ? u(x) / v(x)  est dérivable sur I et sa dérivée a pour expression : ( u /  v )' : x ? ( u'(x) v(x) - v'(x) u(x) ) / v2.

On écrit :( u / v )' = ( u'v - v'u ) / v2

Point Méthode :

Outil : Calculateur de fonction dérivée d'un produit de fonctions

Propriété  :  Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

♦ ∀ x ∈ I, f'(x)>0  ⇔  f est croissante sur I.

♦ ∀ x ∈ I, f'(x)<0 ⇔  f est décroissante sur I.

Propriété  :  Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. c un nombre de I .

Alors si f' s'annule en c en changeant de signes, alors f admet un extremum en c.

Point Méthode :

Point Méthode :

Point Méthode :

♦ Savoir déterminer la fonction dérivée de la fonction carrée. 

♦ Savoir déterminer la fonction dérivée de la fonction inverse.

♦ Savoir déterminer la fonction dérivée de la fonction racine carrée.

♦ Savoir déterminer la fonction dérivée de la fonction valeur absolue.

♦ Savoir appliquer les formules de dérivées des fonctions usuelles.

♦ Savoir dériver une somme de fonctions.

♦ Savoir dériver une fonction polynôme.

♦ Savoir dériver un produit de fonctions.

♦ Savoir dériver l'inverse d'une fonction.

♦ Savoir dériver un quotient de fonctions.

♦ Savoir dérivée une fonction composée.

♦ Savoir déterminer l'équation d'une tangente niveau 2.

♦ Savoir compléter un tableau de variations avec le signe de la dérivée.

♦ Savoir établir le tableau de signes d'une fonction dérivée avec une courbe.

♦ Savoir construire une courbe avec le signe de la dérivée.

♦ Savoir étudier les variation d'un polynome du 2° degré.

♦ Savoir étudier les variation d'un polynome du 3° degré.

♦ Savoir étudier les variations d'une fonction rationnelle.

♦ Savoir déterminer les extremums d'une fonction.

♦ Savoir déterminer la position relative de deux courbes.

                       Démonstrations exigibles                                                                                                                                                                                                             

♦ Expression de la fonction dérivée de la fonction carrée et inverse.

♦ Expression de la fonction dérivée d'une somme de fonction.