Fonction du second degré
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♦ Le cours complété : | |
I. Rappels sur la fonction carrée.
II. Expressions du second degré.
III. Forme canonique.
IV. Variations d'un trinôme du second degré.
V. Équations du second degré.
VI. Inéquations du second degré.
VII.Interprétation graphique.
VIII. Faire le point.
def
Définition :
On appelle fonction polynôme de degré 2 ( ou trinôme du second degré ), toute fonction f définie sur ? dont l'expression développée est de la forme :
f(x) = a x2+ b x + c. ( a≠0 ) avec a, b et c des nombres réels, on les appelle les coefficients de f.
Définition : Soit f, une fonction polynôme de degré 2.
♦ On dit que f(x) = a x2+ b x + c est l'écriture de l'expression de f sous sa forme développée.
♦ On dit que f(x) = a ( x - x1 )( x - x2 ) est l'écriture de l'expression de f sous sa forme factorisée.
♦ On dit que f(x) = a ( x- α )2 +β est l'écriture de l'expression de f sous sa forme canonique.
Définition : La courbe représentative d'une fonction du second degré est une parabole
canonique
Propriété :
Toute expresion du deuxième degré peut s'écrire sous la forme canonique :
f(x) = a ( x- α )2 +β
Point Méthode :
Propriété : Soit f, une fonction polynôme de degré 2.
♦ f(x) = a x2+ b x + c sa forme développée. ♦ f(x) = a ( x- α )2 +β sa forme canonique.
alors α = -b / 2a et β = f ( α)
Variations
Définition : Soit f définie sur ? par f(x) = a ( x- α )2 + β
♦ si a > 0 , f est décroissante sur ] -∞ ; α ] et croissante sur [ α ; +∞ [.
♦ si a < 0 , f est croissante sur ] -∞ ; α ] et décroissante sur [ α ; +∞ [.
Propriété : Soit f, définie sur ? par f(x) = a x2+ b x + c = a ( x- α )2 + β
♦ La courbe représentative de f est une parabole de sommet S ( α ; β ).
♦ La droite qui a pour équation x = α est l'axe de symétrie de la parabole.
♦ si a > 0 , la parabole est tournée vers le haut ♦ si a < 0 , la parabole est tournée vers le bas.
Équations
♦ Faire le point sur les équations du second degré niveau seconde
Point Méthode : En seconde on sait résoudre les équations du second degré du type:
♦ (E): A × B = 0 ♦ (E): X2 = A
On sait factoriser avec un facteur commun ou une identité remarquable.♦ Racines d'un polynome.
Définition : soit f une fonction polynôme définie sur ?
On appelle racine de f une solution de l'équation (E) : f(x)=0.
On appelle racine évidente une racine facile à trouver en testant des nombres.
Propriété : soit f une fonction polynôme définie sur ?
si x1 est une racine de f alors on peut factoriser f(x) par ( x - x1 )
♦ Équations du type (E):x2-Sx+p=0
Propriété : si x1 et x2 sont les solution d'une équation du type (E) : x2 -S x +P = 0
alors x1+x2=S et x1 × x2 =P
Factorisation
Définition : Soient a , b et c trois nombres réels ( a ≠ 0 )
On appelle discriminant du trinome a x2+ b x + c le nombre Δ = b2 - 4 ac
Propriété : Soit f(x)=a x2+ b x + c un trinome du second degré, on peut exprimer la forme canonique de f en fonction de Δ
f(x) = a ( x+ b / 2a )2 - Δ / 4a
Propriété ( démonstration exigible ) : Soit f(x)=a x2+ b x + c un trinome du second degré.
♦ si Δ = 0 , on peut factoriser f(x) sous la forme f(x)= a ( x + b /2a )2.
♦ si Δ > 0 , on peut factoriser f(x) sous la forme f(x)= a ( x - x1 )(x - x2 ).
Point Méthode :
Équations cas general
Propriété ( démonstration exigible ) : Soit (E) : a x2+ b x + c = 0 une équation du second degré.
♦ si Δ < 0 , l'équation (E) n'a pas de solution.
♦ si Δ = 0 , l'équation (E) a une solution : x1 = -b / 2a
♦ si Δ > 0 , l'équation (E) a deux solutions : x1 = ( -b - √ Δ )/ 2a et x2 = ( -b + √ Δ )/ 2a
Point Méthode :
Remarque : Traduction graphique.
Soit C la parabole qui a pour équation y= a x2+ b x + c
♦ si Δ < 0 , C ne coupe pas l'axe des abscisses.
♦ si Δ = 0 , C coupe l'axe des abscisses en un point : ( -b / 2a ; 0 )
♦ si Δ > 0 , C coupe l'axe des abscisses en deux points distincs : ( ( -b - √ Δ )/ 2a ; 0 ) et ( ( -b + √ Δ )/ 2a ; 0 )
Inéquations du second degre
♦ Positions d'une parabole par rapport à l'axe des abscisses.
Remarque :
Le signe de a et celui de Δ nous permettent de reconnaitre l'allure d'une parabole par rapport à l'axe des abscisses.
♦ Tableau de signes d'un trinôme du second degré.
Point Méthode :
♦ Inéquations du second degré.
Point Méthode :
♦ Trouver deux nombres connaissant leur somme et leurs produit.
Point Méthode :
♦ Résoudre une équation du troisième degré en utilisant une racine évidente.
Point Méthode :
♦ Étudier la position relative de deux courbes.
Point Méthode :
Les savoir-faire du chapitre.
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Les savoir-faire du Chapitre : Fonction du second degré. |
♦ Connaitre la fonction carrée.
♦ Savoir résoudre des équations et inéquations avec la fonction carrée.
♦ Savoir identifier les coefficients d'un trinôme du second degré.
♦ Savoir identifier les expressions d'un trinôme du second degré.
♦ Savoir utiliser les identités remarquables.
♦ Savoir factoriser avec la 3° identité remarquable.
♦ Savoir reconnaitre le début d'un carré niveau 1.
♦ Savoir reconnaitre le début d'un carré niveau 2.
♦ Savoir déterminer la forme canonique.
♦ Savoir calculer alpha et beta.
♦ Savoir étudier les variations d'un polynome du second degré.
♦ Savoir déterminer l'allure d'une parabole avec le signe de a.
♦ Savoir établir le tableau de variations d'un polynome du second degré niveau 1.
♦ Savoir déterminer l'axe de symétrie et le sommet d'une parabole par le calcul.
♦ Savoir déterminer l'axe de symétrie et le sommet d'une parabole graphiquement.
♦ Savoir déterminer une racine évidente d'un polynôme.
♦ Savoir factoriser un polynôme avec une racine évidente.
♦ Savoir résoudre une équation simple de la forme x2 - Sx + P = 0.
♦ Savoir calculer ?.
♦ Savoir factoriser un trinôme du second degré.
♦ Savoir résoudre une équation du 2° degré.
♦ Savoir déterminer graphiquement le signe du discriminant.
♦ Savoir trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit.
♦ Savoir positionner une parabole par rapport à l'axe des abscisses.
♦ Savoir établir le tableau de signes d'un trinome.
♦ Savoir résoudre les inéquations du 2° degré.
♦ Savoir déterminer l'expression d'une fonction du second degré connaissant 3 points de la courbe.
♦ Savoir étudier la position relative de deux courbes.
Démonstration exigible
♦ Solutions d'une équation du second degré.