Fonction exponentielle
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I. Définition.
II. Propriétés algébriques.
III. Étude de la fonction exponentielle.
IV. Étude de fonction avec la fonction exponentielle
V. Fonction $e^{kt}$
Intro
def
Définition :
Il existe une unique fonction dérivable sur ? telle que: pour tout x réel, f ’(x) = f (x) et f (0) = 1.
Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et se note exp : x ? exp(x).
Outil : Calculateur denombre dérivé :
Propriété ( admise ) :
La fonction exp est strictement positive sur ?.
Prop
Propriété : Pour tout nombre réel x, exp(x) × exp(-x) =1.
Conséquence :
♦ Pour tout nombre réel x, exp(x) ≠ 0.
♦ Pour tout nombre réel x, exp(-x) = 1 / exp ( x )
Théorème : Pour tous nombres réels x et y , exp(x+y) = exp( x ) × exp ( y )
Remarque :
On dit que la fonction exponentielle permet de transformer les sommes en produits
Propriété : Pour tous nombres réels x et y et pour tout entier relatif n, on a :
♦ exp(x-y) = exp( x ) / exp ( y ) ♦ exp(nx) = ( exp ( x ) ) n
Le nombre e
Définition :
L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e. exp (1) =e.
e ≈ 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274…
..
Propriété : Avec la notation utilisant le nombre e, on a :
Pour tous nombres réels x et y et pour tout entier relatif n, on a :
♦ e0=1 ♦ e1=0 ♦ ex+y=exey ♦e-x=1/ex ♦ex-y=ex / ey ♦enx =(ex)n
Suites
Propriété : Pour tout nombre a,
La suite de terme général ena est une suite géométrique de raison ea
♦ Utilisation de la fonction exponentielle pour prolonger une suite géométrique.
ëtude
Propriété ( admise ) :
La fonction exponentielle est stritement positive sur ? : ∀ x ∈ ? e^x > 0
.
Propriété :
La fonction exponentielle est stritement croissante sur ?.
♦ Applications aux équations et inéquations :
Propriété : Pour tous nombres a et b :
♦ e^a=e^b⇔a=b ♦ e^a>e^b⇔a>b
etude fn avec exp
♦ Dériver une fonction avec exp.
Point Méthode :
♦ Étudier une fonction avec exp.
Point Méthode :
ekt
.♦ Dérivée de exp(ax+b)
Propriété ( admise ) : Pour tous nombres réels a et b,
La fonction f : x? exp ( ax+b ) est définie et dérivable sur ? et f'(x) = a exp (ax+b )
♦ Fonction t ? e^kt
Les savoir-faire du chapitre.
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Les savoir-faire du Chapitre : La fonction exponentielle. |
♦ Savoir simplifier des calculs avec le nombre e.
♦ Savoir déterminer une suite géométrique contenant une exponentielle.
♦ Savoir résoudre une équation avec une exponentielle.
♦ Savoir résoudre une inéquation avec une exponentielle.
♦ Savoir dériver une fonction avec ex.
♦ Savoir étudier une fonction exponentielle.
♦ Savoir reconnaitre la représentation d'une fonction t → ekt .
♦ Savoir dériver une fonction t → ekt .
♦ Savoir étudier une fonction t→ ekt dans une situation concréte.