Produit scalaire dans le plan.
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I. Produit scalaire.
II. Produit scalaire et orthogonalité.
III. Produit scalaire et norme.
IV. Applications du produit scalaire.
V. Produit scalaire dans un repère orthonormé.
Définition
Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan.
On appelle produit scalaire de u par v, noté u. v, le nombre réel défini par :
♦ u. v= 0, si l'un des deux vecteurs u et v est nul
♦ u. v= ?u? × ?v? × cos(u; v), dans le cas contraire.
Point Méthode : Calculer un produit scalaire avec la définition
Propriété : Soit u et v deux vecteurs colinéaires non nuls.
♦ Si u et v sont de même sens , u. v= ?u? × ?v?
♦ Si u et v sont de sens contraire , u. v= - ?u? × ?v?
Point Méthode : Déterminer le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires
Propriété : Soit u et v deux vecteurs du plan, k un nombre réel.
Propriété de symétrie ♦ u. v = v. u
Propriétés de bilinéarité : ♦ u. ( v + w ) = u . v + u . w
♦ u. ( k v ) = k u . v
Produit scalaire et orthogonalité
Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan. et A, B et C trois points tels que u = AB et v = AC.
On dit que u et v sont orthogonaux lorsque les droites (AB) et (AC) sot perpendiculaires.
Propriété : Soit u et v deux vecteurs du plan.
♦ u et v sont orthogonaux ⇔ u . v =0
♦ Application : Produit scalaire et projeté orthogonal.
Propriété : Soit O,A,B trois points distincts et H le projeté orthogonal de B sur (OA)
♦ Si OA et OH sont de même sens alors OA.OB = OA × OH
♦ Si OA et OH sont de sens contraire alors OA.OB = - OA × OH
Point Méthode : Déterminer un produit scalaire en utilisant le projeté orthogonal
Produit scalaire et normes
♦ Formules du produit scalaire avec les normes
Propriété :
Pour tout vecteur u, u . u = u 2 = || u || 2
Propriété : Pour tous vecteurs u et v,
♦ ( u + v )2 = u2 + 2uv + v2 ♦ ( u - v )2 = u2 - 2uv + v2 ♦ ( u + v )(u - v )= u2 - v2
Propriété : Pour tous vecteurs u et v,
♦ u . v = 1/2 ( ||u+v||2 - ||u||2 - ||v||2 ) = 1/2 ( ||u||2 + ||v||2 - ||u-v||2 )
♦ Application :
Propriété : Soit A, B et C trois points du plan.
On a : AB. AC= 1/2 ( AB2 +AC2 -BC2)
Point Méthode :
Applications
♦ Théorème de la médiane.
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Théorème de la médiane : Soit deux points A et B et I le milieu du segment [AB]. Pour tout point M, on a : MA.MB = MI2 - AB2/4
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♦ Théorème d'Al Kashi.
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Théorème d'Al Kashi ( démonstration exigible ) : Dans un triangle ABC, on a : a2 = b2 + c2 -2bc cos(A)
Remarque :
Ce théorème est aussi appelé théorème de Pythagore généralisé.
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Point Méthode :
♦ Caractérisation des points d'un cercle.
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Propriété ( démonstration exigible ) : Soit deux points A et B distincts L’ensemble des points M vérifiant l’égalité MA.MB= 0 est le cercle de diamètre [AB]. Interprétation :
Le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M tels que ABC soit rectangle en M.
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Repere orthonormé
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Soit ( O ; i ; j ) un repère orthonormé Propriété : Soit u ( xu ; yu ) et v ( xv ; yv ) deux vecteurs alors u.v = xu xv + yu yv
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Point Méthode : Démontrer que deux vecteurs sont orthogonaux avec les coordonnées
Point Méthode : Calculer une mesure d'angle dans un repère orthonormé.
fonctions
Définition :
On appelle fonction affine une fonction f définie sur ? dont l’expression est de la forme f(x) = mx + p.
m est appelé le coefficient directeur et p l’ordonnée à l’origine.
Si m = 0 on dit que la fonction est constante.
Remarques :
Une fonction affine dont le coefficient directeur est non nul est une fonction dont l'expression est un polynôme du 1° degré.
Propriété : Soit f la fonction affine définie sur ? par f(x) = mx + p.
Pour tous nombres a et b ( a différent de b ) on a : m = (f(a)-f(b)) / (a-b)
Point Méthode :
Les savoir-faire du chapitre.
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Les savoir-faire du Chapitre : Produit scalaire dans le plan. |
♦ Savoir calculer la norme d'un vecteur.
♦ Savoir calculer un produit scalaire avec la définition.
♦ Savoir calculer un produit scalaire de deux vecteurs colinéaires.
♦ Savoir calculer un produit scalaire par projection orthogonale.
♦ Savoir calculer un produit scalaire avec les normes.
♦ Savoir appliquer le théorème de la médiane.
♦ Savoir appliquer le théorème d'Al Kashi.
♦ Savoir calculer un produit scalaire avec les coordonnées.
♦ Savoir déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux.
♦ Savoir déterminer si deux droites sont perpendiculaires.
♦ Savoir déterminer la mesure d'un angle avec le produit scalaire.
