Variables aléatoires

I. Variable aléatoire et loi de probabilité.

Variable aléatoire.

Loi de probabilité d’une variable aléatoire.

II. Paramètres d’une variable aléatoire.

Espérance d'une variable aléatoire

Variance et écart type

Linéarité de l'espérance

Définition  : 

Une variable aléatoire X est une fonction définie sur un univers Ω et à valeur dans ?, qui a tout élément de Ω fait correspondre un nombre réel.

Point Méthode : Savoir déterminer une variable aléatoire.

Définition  :  Soit a un nombre réel

♦ On note { X = a } l'événement " La variable X prend la valeur a ".

♦ On note { X > a } l'événement " La variable X prend une valeur supérieure à a ".

Point Méthode : Déterminer des probabilités avec une variable aléatoire.

Définition  :  Soit une variable aléatoire X définie sur un univers Ω.

Définir la loi de probabilité de X, c'est associer à chacune des valeurs prises par X sa probabilité.

Si X prend les valeurs x1, x2, ..., xn, la loi de probabilité de X associe à toute valeur xi la probabilité P(X = xi).

Point Méthode : Établir la loi de probabilité  d'une variable aléatoire.

Propriété  :  Dans un tableau qui donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire, la somme des probabilités est égale à 1.

Définition  : 

Soit une variable aléatoire X définie sur un univers W et prenant les valeurs x1, x2, ..., xn.

La loi de probabilité de X associe à toute valeur xi la probabilité pi = P(X = xi).

L'espérance mathématique de la loi de probabilité de X est : E(X) = p1 x1 + p2 x2 + … + pn xn 

Point Méthode : Calculer l'espérance d'une variable aléatoire.

Interprétation :

L'espérance est  la moyenne que l'on peut espérer si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois.

Définition  : 

On dit qu'un jeu est équitable lorsque l'espérance de la variable aléatoire associée au gain du joueur est égale à 0.

Point Méthode :

Définition  :  Soit une variable aléatoire X définie sur un univers Ω et prenant les valeurs x1, x2, ..., xn.

♦ La variance de la variable aléatoire X est le nombre positif défini par:

V(X) = p1 × ( x1 - E(X) )2 + p2 × ( x2 - E(X) )2 + … + pn × ( xn - E(X) )2

♦ L'écart type de la variable aléatoire X est le nombre σ(X) = √ V(X).

Point Méthode : Calculer l'espérance d'une variable aléatoire.

Interprétation :

La variance représente la moyenne des carrés des écarts à l'espérance. 

Elle mesure la dispersion des valeurs prises par la variable aléatoire autour de son espérance. 

L'écart-type est  une caractéristique de dispersion "espérée" pour la loi de probabilité de la variable aléatoire.

Propriété : S

Soit une variable aléatoire X définie sur un univers Ω.

Soit a et b deux nombres réels.

On a : E(aX+b) = aE(X)+b                            V(aX+b) = a²V(X)

Point Méthode :

♦ Savoir modéliser une situation par variable aléatoire.

♦ Savoir déterminer des probabilités avec une variable aléatoire.

♦ Savoir déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire.

♦ Savoir déterminer l' espérance d'une variable aléatoire.

♦ Savoir déterminer si un jeu est équitable ou non.

♦ Savoir calculer une variance et un écart type.

♦ Savoir calculer une espérance et une variance avec une variable de transition.