Équations de droites.
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I. Vecteurs directeurs d'une droite.
II. Équations cartésiennes de droites.
III. Équations réduites de droites.
IV. Positions relatives de deux droites.
Vecteur directeur
♦ Vecteurs directeur d'une droite.
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Définition : Soit (d) une droite. On appelle vecteur directeur de (d) tout vecteur non nul ayant la même direction que (d) Remarque : Une droite a une infinité de vecteurs directeurs |
♦ Définition d'une droite par un point et un vecteur directeur.
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Propriété : Soit (d) la droite de vecteur directeur u. et passant par le point A. pour tous points M de (d) les vecteurs AM et u sont colinéaires. |
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Une droite est entièrement définie par un point et un vecteur directeur.
Définition : La droite (d) de vecteur directeur u et passant par le point A est l'ensemble des points M tels que AM et u sont colinéaires. |
Equations cartésiennes
Propriété ( démonstration exigible ) :
Soit (d) une droite , alors il existe a , b et c trois nombres ( a ; b ) ≠ ( 0 ; 0 ) tels que
tous les points M ( x ; y ) de (d) ont leurs coordonnées qui sont solution de l'équation (E) : ax+by+c=0.
Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite (d).
u ( -b ; a ) est un vecteur directeur de (d)
Remarque :
Une droite a une infinité d'équations cartésiennes obtenues selon le vecteur directeur ou le point choisis.
Point Méthode : Déterminer si un point appartient ou non à une droite en utilisant une équation cartésienne.
Point Méthode : Déterminer un vecteur directeur en utilisant une équation cartésienne.
Détermination d'equation cartésienne
♦ Déterminer une équation cartésienne par le calcul
Point Méthode : Déterminer une équation cartésienne d'une droite.
♦ Déterminer une équation cartésienne graphiquement.
Équation réduite
Définition : On considère une droite (d), d'équation cartésienne (E) : ax+by+c = 0
♦ Si b = 0 , alors (E) est équivalente à une équation (E1) de la forme (E1) : x = k.
♦ Si b ≠ 0 , alors (E) est équivalente à une équation (E1) de la forme (E1) : y = m x + p.
m est appelé la pente ou le coefficient directeur de la droite (d). - p est appelé l’ordonnée à l’origine de la droite (d).
Dans les deux cas, l'équation (E1) est appelée l’équation réduite de la droite (d).
Point Méthode : Déterminer un vecteur directeur en utilisant une équation cartésienne.
Remarque :
♦ Une droite a une unique équation réduite.
♦ Si b ≠ 0, dans l'équation réduite on retrouve l'expression d'une fonction affine.
♦ Interprétation graphique :
déterminer une équation reduite
Point Méthode : Déterminer si un point appartient à une droite dont on connait une équation réduite.
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Propriété : Soit A ( xA ; yA ) et B ( xB ; yB ) deux points ♦ Si xA = XB , (AB) a pour équation réduite (E ) : x = xA, u ( 0,1 ) est un vecteur directeur de (AB). ♦ Si xA ≠ XB , (AB) a une équation réduite de la forme (E) : y = m x + p. m = ( yB - yA ) / (xB - xA ) u ( 1, m ) est un vecteur directeur de (AB).
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Point Méthode : Déterminer l'équation réduite d'une droite par le calcul.
♦ Détermination graphique d'équation réduite.
droites parallèles
Propriété :
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
Point Méthode : Déterminer si des droites sont parallèles ou sécantes avec des équations cartésiennes.
Remarque : Avec les équations réduites des droites sont parallèles si et seulement si
♦ elles ont des équations de la forme x=k
♦ elles ont des équations de la forme y = mx + p avec le même coefficient directeur.
Point Méthode : Déterminer si des droites sont parallèles ou sécantes avec des équations cartésiennes.
Point d'intersection de deux droites sécantes
Propriété : Soit (d1) : ax+by+c=0 et (d2) : a'x+b'y+c' = 0
Si (d1) et (d2) sont sécantes alors leur point d'intersection a pour coordonnées l'unique solution du système
(S) :ax+by+c=0
a'x+b'y+c' = 0
Définition : Soit (S) :{ ax+by+c=0 un système à deux inconnues et deux équations
{ a'x+b'y+c' = 0
on appelle déterminant du système le nombre det(S)=ab'-a'b
Définition : Soit (S) :{ ax+by+c=0 un système à deux inconnues et deux équations
{ a'x+b'y+c' = 0
on appelle déterminant du système le nombre det(S)=ab'-a'b
Point Méthode : Déterminer si des droites sont parallèles ou sécantes avec des équations cartésiennes.
Les savoir faire du parcours
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Les savoir-faire du Chapitre : Équations de droites. |
♦ Savoir déterminer graphiquement un vecteur directeur.
♦ Savoir déterminer si un point appartient à une droite.
♦ Savoir déterminer un vecteur directeur d'une droite avec une équation cartésienne.
♦ Savoir construire une droite avec une équation cartésienne.
♦ Savoir determiner graphiquement une équation cartésienne d'une droite.
♦ Savoir déterminer une équation cartésienne avec un point et un vecteur directeur.
♦ Savoir déterminer une équation cartésienne avec deux points.
♦ Savoir exprimer une inconnue en fonction de l'autre.
♦ Savoir déterminer un vecteur directeur d'une droite avec une équation réduite.
♦ Savoir déterminer l'équation réduite d'une droite dont on connait une équation cartésienne.
♦ Savoir déterminer si un point appartient à une droite avec l'équation réduite.
♦ Savoir construire une droite d'équation réduite donnée.
♦ Savoir déterminer l'équation réduite d'une droite connaissant deux points.
♦ Savoir determiner graphiquement l'équation réduite d'une droite.
♦ Savoir utiliser les équations réduites pour des droites parallèles ou perpendiculaires.
♦ Savoir déterminer si 2 droites sont parallèles avec les équations cartésiennes.
♦ Savoir étudier la position relative de 2 droites.
♦ Savoir calculer le déterminant d'un système.
♦ Savoir déterminer le nombre de solutions d'un système.
♦ Savoir déterminer les coordonnées du point d'intersection de 2 droites.
Démonstrations exigibles
♦ En utilisant le déterminant, établir la forme générale d’une équation de droite.