Équations, inéquations.
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I. Équations.
Égalités et opérations.
Vocabulaire des équations.
Équations du 1° degré.
Équations produit nul.
Équations du type $(E):x^2 = a$.
Équations quotients.
II. Inéquations.
Inégalités et opérations.
Vocabulaire de inéquations.
Inéquations du 1° degré.
Égalités et opérations
♦ Égalités et additions.
Propriété : Une égalité reste vraie si on ajoute un même nombre aux deux menbres.
Traduction en langage mathématique : Pour tout nombre c , si a = b , alors a + c = b +c
♦ Égalités et multiplications.
Propriété : Une égalité reste vraie si on multiple les deux menbres.par un même nombre non nul.
Traduction en langage mathématique : Pour tout nombre c non nul , si a = b , alors a × c = b × c
Vocabulaire des équations.
Définition : Une équation (E) d’inconnue x est une égalité contenant un nombre inconnu x.
Une solution d'une équation est une valeur qui vérifie l'égalité.
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Définition : On appelle degré d'une équation (E) le plus grand exposant porté par l'inconnue.
Propriété : On ne change pas les solutions d'une équation si :
♦ On ajoute ou on soustrait à ses deux membres un même nombre.
♦ On multiplie ou on divise ses deux membres par un même nombre non nul.
Définition : Lorsque deux équations ont les mêmes solutions, on dit qu'elles sont équivalentes.
On le note en utilisant le symbole ⇔.
Équations du premier degré.
♦ Équations du premier degré du type (E):ax=b.
Propriété : Pour tout nombre a non nul, l'équation (E) : ax = b a une unique solution qui est b/a.
On le note S(E)= { b/a }
♦ Équations du premier degré cas général.
Propriété :
Toute équation du premier degré est équivalente à une équation de la forme (E) : ax = b ( avec a non nul ).
Point Méthode :
Équation du type produit nul
Propriété ( phrase magique ):
Un produit est nul si et seulement si un , au moins , des facteurs est nul.
Traduction en langage mathématique : Pour tous nombres a et b , a × b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0.
Remarque :
Cette propriété est magique car elle permet de transformer une équation de degré 2 en deux équations du premier degré.
Point Méthode :
Équations du type (E):x^2=a
Propriété : Soit a un nombre réel et (E) : x2=a.
♦ Si a < 0, l' équation (E) n'a pas de solution ( un carré de nombre réel est positif ).
♦ Si a = 0, l' équation (E) a une unique solution qui est 0. S(E)={ 0 }
♦ Si a > 0, l' équation (E) a deux solutions qui sont -√a et √a. S(E)={ -√a ; √a }
Outil : Solveur d'équations du type (E) : x2=a
Remarque : Lorsque a est un nombre strictement positif , a = √a2, on obtient :
(E) : x2=a ⇔ x2-a=0 ⇔ x2-√a2=0 ⇔ ( x - √a ) ( x + √a ) = 0 et on retrouve S(E)={ -√a ; √a }
Point Méthode :
Équations quotients
Propriété : Une équation quotient est une équation de la forme (E) : P(x)/Q(x) = 0.
L' équation (E) n'a de sens que pour les valeurs n'annulant pas Q(x).
Les solutions de (E) sont les solutions de (E1):P(X)=0 qui n'annulent pas Q(x).
Point Méthode 1 :
Point Méthode 2 :
Inégalités et opérations
♦ Inégalités et additions.
Propriété : Une inégalité reste vraie si on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres.
Traduction en langage mathématique : Pour tout nombre c , si a < b , alors a + c < b +c
♦ Inégalités et multiplications.
Propriété :
♦ Si on multiple les deux membres.d'une inégalité par un même nombre positif alors l'ordre est conservé.
♦ Si on multiple les deux membres.d'une inégalité par un même nombre négatif alors l'ordre est inversé.
Traduction en langage mathématique : Soient a et b deux nombres tels que a < b
♦ Si c > 0 , alors a × c < b × c ♦ Si c < 0 , alors a × c > b × c
Vocabulaire des inéquations.
Définition : Une inéquation (I) d’inconnue x est une inégalité contenant un nombre inconnu x.
Une solution d'une inéquation est une valeur qui vérifie l'inégalité.
Résoudre une inéquation signifie trouver toutes les solutions de cette inéquation.
Remarque :
Une inéquation a une infinité de solutions, on les désignes sous la forme d'un intervalle.
Propriété : On ne change pas les solutions d'une inéquation si :
♦ On ajoute ou on soustrait à ses deux membres un même nombre.
♦ On multiplie les deux membres par un même nombre non nul.
♦ En conservant l'ordre si ce nombre est positif.
♦ En inversant l'ordre si ce nombre est négatif.
Définition : Lorsque deux inéquations ont les mêmes solutions, on dit qu'elles sont équivalentes.
On le note en utilisant le symbole ⇔.
Inéquation du premier degré.
Propriété :
Toute inéquation du premier degré est équivalente à une inéquation de la forme :
(I1) : x < a ou (I2) :x ≤ a ou (I3) :x ≥ a ou (I4) :x > a
Point Méthode :
Les savoir-faire du chapitre.
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Les savoir-faire du Chapitre : Équation et inéquations. |
♦ Savoir vérifier qu'un nombre est solution d'une équation.
♦ Savoir déterminer le degré d'une équation.
♦ Savoir reconnaitre les équations au programme.
♦ Savoir résoudre une équation du premier degré.
♦ Savoir résoudre une équation du type (E) : x2=a
♦ Savoir résoudre une équation du produit nul.
♦ Savoir résoudre une équation quotient.
♦ Savoir effectuer des opérations sur les inégalités.
♦ Savoir vérifier qu'un nombre est solution d'une inéquation.
♦ Savoir résoudre une inéquation du premier degré.
♦ Savoir résoudre un résoudre un problème à l'aide d'une inéquation.