Géométrie analytique.
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I. Repères du plan.
II. Vecteurs dans un repère.
III. Condition analytique de colinéarité.
IV. Coordonnées du milieu d'un segment.
V. Distance entre deux points
Repère du plan
♦ Exprimer un vecteur en fonction de deux vecteurs non colinéaires.
Propriété : Soient u et v deux vecteurs non colinéaires.
Tout vecteur w peut s'exprimer en fonction de u et de v.
♦ Repère du plan
Définition :
On appelle repère du plan un triplet ( O ; i ; j ) où O est un point et i et j deux vecteurs non colinéaires.
Le point O s'appelle l'origine du repère.
Définition :
♦ On dit que le repère ( O ; i ; j ) est orthogonal si les vecteurs i et j ont des directions perpendiculaires.
♦ On dit que le repère ( O ; i ; j ) est orthonorme s’il est orthogonal et si les vecteurs i et j ont la même longueur.
coordonnées
♦ Coordonnées d'un point du plan.
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Définition : Soit ( O ; i ; j ) un repère et M un point. On appelle coordonnées de M dans ( O ; i ; j ) l'unique couple de nombre ( xM ; yM ) tel que OM = xM i + yM j |
♦ Coordonnées d'un vecteur dans le plan.
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Définition :
Soit ( O ; i ; j ) un repère et u un vecteur. Soit M le point tel que u = OM. Les coordonnées du vecteur u sont les coordonnées de M
Remarque :
Si u ( xu ; yu ) alors u = xu i + yu j.
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Calculs des coordonnees d'un vecteur
♦ Vecteur défini par deux points.
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Propriété : Soit ( O ; i ; j ) un repère et A ( xA ; yA ) et B ( xB ; yB ) deux points. Le vecteur AB a pour coordonnées : AB ( xA - xB ; yA - xB )
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Point Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur par le calcul.
♦ Propriétés.
Propriété : soit u ( xu ; yu ) et v ( xv ; yv ) deux vecteurs et k un nombre réel.
♦ u = v ⇔ xu = xv et yu = yv
♦ k u a pour coordonnées ( k xu ; k yu ).
♦ u + v a pour coordonnées ( xu + uv ; yu + yv ).
Point Méthode : Appliquer les formules sur les coordonnées de vecteurs.
Point Méthode : Déterminer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielle.
colinearite
♦ Déterminant de deux vecteurs.
Définition : Soit ( O ; i ; j ) un repère, u ( xu ; yu ) et v ( xv ; yv ) deux vecteurs.
On appelle déterminant de u et de v le nombre det ( u , v ) = xu yv - xv yu
Point Méthode : Calculer le déterminant de deux vecteurs.
♦ Condition analytique de colinéarité.
Propriété ( démonstration exigible ) :
Soient u et v deux vecteurs alors les affirmations suivantes sont équivalentes :
♦ u et v sont colinéaires ♦ det ( u , v ) = 0
Point Méthode : Déterminer si des vecteurs sont colinéaires.
Appliaction
Point Méthode : Déterminer si des points sont alignés.
Point Méthode : Déterminer si des droites sont parallèles.
milieu
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Propriété : Soit ( O ; i ; j ) un repère et A ( xA ; yA ) et B ( xB ; yB ) deux points. Soit M le milieu de [ AB ] alors M ( (xA + xB) / 2 ; (yA + yB) / 2 )
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Point Méthode : Calculer les coordonnées du symétrique d'un point.
distance
♦ Distance entre deux points dans un repère orthonormé.
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Propriété : Soit ( O ; i ; j ) un repère orthonormé A ( xA ; yA ) et B ( xB ; yB ) deux points, alors AB = √ ( (xB - xA)2+(yB + yA)2
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♦ Norme d'un vecteur dans un repère orthonormé.
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Propriété : Soit ( O ; i ; j ) un repère orthonormé u ( xu ; yu ) un vecteur, alors ||u|| = √ ( xu 2+ yu 2 )
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Point Méthode :
Point Méthode :
Point Méthode :
Les savoir faire du parcours
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Les savoir-faire du Chapitre : Géométrie analytique. |
♦ Savoir exprimer un vecteur en fonction de 2 vecteurs non colinéaires.
♦ Savoir déterminer les coordonnées d'un vecteur dans une base.
♦ Savoir déterminer les coordonnées d'un vecteur par lecture graphique.
♦ Savoir représenter un vecteur dont on connait les coordonnées.
♦ Savoir déterminer les coordonnées d'un vecteur par le calcul.
♦ Savoir déterminer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielle. (niveau 1)
♦ Savoir déterminer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielle. (niveau 2)
♦ Savoir déterminer les coordonnées d'une somme de vecteurs.
♦ Savoir déterminer les coordonnées d'un produit de vecteur par un nombre réel.
♦ Savoir déterminer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielle. (niveau 3)
♦ Savoir calculer le déterminant de deux vecteurs.
♦ Savoir déterminer si deux vecteurs sont colinéaires ou non.
♦ Savoir démontrer si deux droites sont parallèles ou non.
♦ Savoir démontrer si trois points sont alignés ou non.
♦ Savoir calculer les coordonnées du milieu d'un segment.
♦ Savoir calculer les coordonnées du symétrique d'un point.
♦ Savoir calculer les coordonnées d'un sommet d'un parallélogramme.
♦ Savoir calculer une longueur dans un repère orthonormé.
♦ Savoir calculer la norme d'un vecteur.
Démonstrations exigibles
♦ Condition analytique de colinéarité.
