Géométrie vectorielle
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I. Vecteur du plan.
Translation dans le plan.
Notion de vecteur.
Vecteurs égaux, représentants d'un vecteur.
II. Opérations sur les vecteurs.
Addition de vecteurs.
Soustraction de vecteurs.
Multiplication d'un vecteur par un nombre.
III. Vecteurs colinéaires.
Définition et propriéte.
introduction
Translation
Définition : Soit B et C deux points disctincts du plan.
L'image d'un point A par la translation qui transforme B en C est le point A' tel que ABCA' soit un parallèlogramme.
Remarques : Si A' est l'image de A par la translation qui transforme B en C alors :
♦ Les droites (BC) et (AA') ont la même direction. ( elles sont parallèles ).
♦ Le sens de B vers C est le même que celui de A vers A'.
♦ La distance BC est égale à la distance AA'.
Notion de vecteur
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Soit A et B deux points disctincts du plan.
Définition : On appelle vecteur d'origine A et d'extrémité B, l'idée du déplacement de A vers B. On le note AB.
Le vecteur AB est défini par : ♦ Une direction. ♦ Un sens. ♦ Une longueur, appelée norme du vecteur. . |
Remarque :
Attention à ne pas confondre les mots sens et direction qui peuvent être synonymes dans le langage courant mais dont la signification est diférente en mathématique.
Définition :
La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur AB.
Vecteurs égaux, représentants d'un vecteur.
♦ Vecteurs égaux.
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Définition : On dit que deux vecteurs AB et CD sont égaux s'ils ont : ♦ La même direction. ♦ Le même sens. ♦ La même norme.
Propriété : AB = CD ⇔ ABDC est un parallélogramme. |
♦ La notation u, représentants d'un vecteur.
Un vecteur est une idée de déplacement, ce n’est pas un ensemble de point s, donc il n'est pas nécessaire de spécifier une origine et une extrémité.
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Les vecteurs u et AB ont la même direction, le même sens et la même longueur, ils sont égaux.
Définition : On dit que le vecteur AB est un représentant du vecteur u.
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Remarque : Un vecteur u a une infinité de représentants.
Propriété : Soit A un point et u un vecteur, alors il existe un unique point B tel que AB soit un représentant de u. |
addition de vecteurs
Définition : Soit u et v deux vecteurs.
Si on enchaine le translation de vecteur u puis la translation de vecteur v, on obtient une translation.
On appelle somme des vecteurs u et v, notée u + v , le vecteur qui lui est associé.
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Soit A, B et C trois points. Effectuer la translation de vecteur AB puis la translation de vecteur BC revient à effectuer la translation de vecteur AC.
Propriété ( relation de Mr Chasles ) : Soit A,B et C trois points, alors AB + BC = AC
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Point Méthode :
Propriété : Pour tous vecteurs u v et w.
♦ u + v = v + u ,l'addition dans le monde des vecteurs est commutative.
♦ u + ( v + w ) = ( v + u ) + w , l'addition dans le monde des vecteurs est associative.
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Propriété ( règle du parallèlogramme ) : Soit ABCD est un parallèlogramme, alors AB + AD = AC
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soustraction de vecteurs
♦ Le vecteur nul.
Dans le monde des vecteurs, la somme de deux vecteurs est un vecteur.
Soit A et B deux points, AB + BA = AA. le vecteur AA a une norme égale à 0, mais il n'a pas de direction.
Le vecteur AA n'est pas un vecteur, pour garder la cohérence de l'addition, on définit une convention.
Définition : Soit A un point du plan.
On appelle vecteur AA le vecteur nul et on le note 0.
Pour tout vecteur u, u + 0 = 0 + u = u
♦ Vecteurs opposés.
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Définition : On dit que deux vecteurs u et v sont opposés lorsque : ♦ Ils ont la même direction. ♦ Ils sont de sens contraire. ♦ Ils ont la même norme. On le note : u=-v
Remarque : BA est l'opposé de AB : BA = - AB |
♦ Différence de deux vecteurs.
En utilisant l'opposé d'un vecteur on peut définir une soustraction dans le monde des vecteurs.
Définition : Soit u et v deux vecteurs.
On définie la différence des vecteurs u et v par : u - v = u + ( -v )
Point Méthode :
Produit d'un vecteur par un nombre.
Définition : Soit u un vecteur et k un nombre réel.
Le produit du vecteur u par le nombre k est le vecteur v tel que :
♦ Les vecteurs u et v ont la même direction.
♦ Les vecteurs u et v ont : ♦ Le même sens si k > 0 ♦ des sens contraires si k < 0.
♦ La norme de v est égale à |k| fois la norme de u.
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Propriété : Si M est le milieu du segment [AB] alors ♦ AB = 2. AM. ♦ AM = 1/2 AB. ♦ AM = MB. ♦ AM + BM = 0. |
Point Méthode :
Définition : Soit u et v deux vecteurs.
Si on enchaine le translation de vecteur u puis la translation de vecteur v, on obtient une translation.
On appelle somme des vecteurs u et v, notée u + v , le vecteur qui lui est associé.
Vecteurs colinéaires
Définition : On dit que deux vecteurs u et v sont colinéaires lorsqu'il ont la même direction.
Propriété : Soit u et v deux vecteurs.
♦ u et v sont colinéaires. ⇔ ♦ Il existe un nombre k tel que u = k . v
Point Méthode :
♦ Pour démontrer que des points A, B et C sont alignès, il suffit de prouver que les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
♦ Pour démontrer que des droites (AB) et (CD) sont parallèles, il suffit de prouver que les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
Savoir-faire
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Les savoir-faire du Chapitre : Géométrie vectorielle. |
♦ Savoir construire l'image d'un point par une translation avec un quadrillage.
♦ Savoir construire l'image d'un point par une translation sans quadrillage.
♦ Savoir construire l'image d'un point par une translation définie par un vecteur avec un quadrillage.
♦ Savoir construire l'image d'un point par une translation définie par un vecteur sans quadrillage.
♦ Savoir comparer les directions, sens et longueurs de deux vecteurs.
♦ Savoir construire des vecteurs égaux.
♦ Savoir construire une image par la composée de deux translations.
♦ Savoir construire la somme de deux vecteurs.
♦ Savoir appliquer la relation de Mr Chasles avec des vecteurs.
♦ Savoir construire des vecteurs opposés.
♦ Savoir construire la soustraction de deux vecteurs.
♦ Savoir multiplier un vecteur par un nombre.
♦ Savoir multiplier un vecteur par une fraction.
♦ Savoir construire un point défini par une égalité vectorielle.
♦ Savoir démontrer que deux vecteurs sont colinéaires.
♦ Savoir exprimer un vecteur en fonction de 2 vecteurs non colinéaires.