Intervalles de R
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I. La droite numérique:
Définition de la droite numérique.
Encadrements et valeurs approchées.
Nombres constructibles
II. Intervalles de R:
Définition d'un intervalle.
Intersection et réunion d'intervalles.
III. Valeur absolue :
Distance entre deux nombres.
Valeur absolue d'un nombre.
Équations avec une valeur absolue.
Inéquations avec une valeur absolue.
La droite numérique
Encadrement et valeur approchée
Nombres constructibles
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On dit qu'un nombre est constructible, lorsqu'on peut le placer sur une droite graduée en utilisant comme outils seulement une droite non graduée et un compas. L 'étude des nombres constructibles a passionné les mathématiciens de la gréce antique.
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définition des Intervalles de $R$
L'ensemble des nombres réels $x$ tels que $a≤x≤b$ s'appelle l'intervale fermé de bornes $a$ et $b$. On le note $[\;a\;;\;b\;]$.
On peut représenter un intervalle comme une partie de la droite numérique :
Attention ! : $-\infty$ et $+\infty$ ne sont pas des nombres, ce sont des idées.
Intersection d'intervalles
On appelle intersection de $I$ et de $J$, notée $I∩J$, l'ensemble des nombres réels $x$ appartenant à $I$ et\;à\;$J$
Réunion d'intervalles
On appelle réunion de $I$ et de $J$, notée $IÜJ$, l'ensemble des nombres réels $x$ appartenant à $I$ ou\;à\;$J$
distance entre deux nombres
On appelle distance entre les nombres $a$ et $b$ la distance entre les points d'abscisses respectives $a$ et $b$.
On note $d(a;b)=\left| a-b \right| $
Valeur absolue
On appelle valeur absolue de $a$, la distance entre les nombres $a$ et $0$. On note $d(a;0)=\left| a \right| $
♦ si $a≥0$, alors $\left| a \right|=a $ ♦ si $a<0$, alors $\left| a \right|=-a $
Valeur absolue et équations.
♦ si $r<0$, alors $S(E)=∅ $ ♦ si $r=0$, alors $S(E)={c}$ ♦ si $r>0$, alors $S(E)={c-r;c+r}$
Valeur absolue et inéquations
On dit que l'intervalle $[\;a\;;\;b\;]$ a pour centre $c=\frac{a+b}{2}$\;et\;pour\;rayon\;$r=\frac{l}{2}=\frac{b-a}{2}$