Probabilités.
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I. Expérience aléatoire, évènements.
II. Probabilité d’un évènement.
III. Loi de probabilités.
IV. Calculs de probabilités.
V. Évènements contraires
VI. Intersection et union d’évènements.
VII. Évènements incompatibles.
Intro lancer de
Intro lancer de piece
Remarque :
On peut aussi simuler l'expérience avec un tableur
tirage de cartes
Expérience aléatoire
Définition :
Une expérience est aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats ou issues possibles et que l’on ne peut pas prévoir, à priori, quel résultat se produira.
Définition :
♦ Un résultat possible d'une expérience aléatoire s'appelle une issue.
♦ L'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire s'appelle l'univers. On le note Ω
Définition :
On peut schématiser une expérience aléatoire sous la forme d'un arbre.
L’arbre des possibles permet de visualiser les issues d’une expérience aléatoire.
Evenements
♦ Évenements.
Définition :
♦ Un évènement est une partie ( ou sous- ensemble ) de l'univers.
♦ Un évènement élémentaire est un événement composé d'une seule issue.
♦ Lorsque le résultat d'une expérience aléatoire appartient à un évènement, on dit que l'évènement est réalisé.
♦ Évenements contraires.
Définition : Soit A et B deux événements.
On dit que A et B sont complémentaires lorsque A est composé de toutes les issues de l'univers n'appartenant pas à B.
On dit aussi que B est l'événement contraires de A et on le note A.
♦ Réunion et intersection d'événements.
Définition : Soit A et B deux événements.
♦ On appele intersection de A et de B, notée A B l'événement constitué des issues appartenant à la fois à A et à B.
♦ On appele réunion de A et de B, notée A B l'événement constitué des issues appartenant à A ou à B.
♦ Événements incompatibles.
Définition : Soit A et B deux événements.
On dit que A et B sont incompatibles ( ou disjoints ) lorsqu'ils n'ont aucune issue en commun ( AB= )
Ils ne peuvent pas se réaliser simultanément.
Probabilité d'un événement
♦ Probabilité d'un événement
Définition :
Les fréquences obtenues d’un événement E se rapprochent d’une valeur théorique lorsque le nombre d’expérience augmente (Loi des grands nombres).
Cette valeur s’appelle la probabilité de l’événement E et se note p(E).
Propriété :
La probabilité d'un événement est une fréquence théorique donc pour tout événement E, 0 ≤ p(E) ≤ 1
Définition :
♦ On dit qu'un événement est impossible lorsque sa probabilité est égale à 0.
♦ On dit qu'un événement est certain lorsque sa probabilité est égale à 1.
♦ Estimer la probabilité d'un événement
Calcul_proba
Propriété :
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.
Définition :
Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité de se réaliser on dit qu'on est en situation d'équiprobabilité.
Propriété : En situation d'équiprobabilité sur un univers Ω, la probabilité d'un événement A est
p(A)= ( nbre d'issues réalisant A ) / ( nombre total d'issues de Ω )
Point Méthode : Calculer une probabilité par dénombrement.
Point Méthode : Calculer une probabilité avec un tableau.
Loi de probabilité
Définition : On considère une expérience aléatoire dont l'univers Ω est fini et formé de n issues Ω = { e1 ; e2 ; .... ; en }
Définir une loi de probabilité sur Ω c'est associer à chaque évènement élémentaire ei sa probabilité.
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On peut représenter une loi de probabilité sous la forme d'un tableau. |
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Point Méthode : Établir une loi de probabilité.
Propriété :
La somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1
Point Méthode :
Evenement contraire
♦ Probabilité d'un événement contraire
Propriété : Soit A un événement et B son événement contraire.
alors p(A) + p(B) = 1 ou p(B) = 1 - p (A).
♦ Probabilité d'une réunion d'événements
Propriété : Soit A et B deux événements
alors p(AUB) =p(A) + p(B) - p (A∩B).
Point Méthode :
Propriété : Soit A et B deux événements incompatibles alors p(AUB) =p(A) + p(B)
Les savoir faire du parcours
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Les savoir-faire du Chapitre : Probabilités. |
♦ Savoir déterminer si un nombre peut-être ou non la probabilité d'un évènement.
♦ Savoir estimer la probabilité d'un évènement.
♦ Savoir déterminer des évènements certains ou impossible.
♦ Savoir faire le lien entre fréquence observée et fréquence théorique.
♦ Savoir calculer des probabilités par dénombrement.
♦ Savoir calculer une probabilité avec un arbre.
♦ Savoir utiliser le vocabulaire des ensembles.
♦ Savoir calculer la probabilité d'un évènement contraire.
♦ Savoir calculer la probabilité d'une union d'évènements.
♦ Savoir présenter des ensembles dans un tableau pour calculer une probabilité.
