statistiques 2

L'ensemble sur lequel porte l'étude d'une série statistique s'appelle la population.

Un élément de la population est un individu. L'objet étudié s'appelle le caractère de la série.

Si le caractère prends des valeurs numériques on dit qu'il est quantitatif , sinon il est qualitatif.

Lors d'une enquête, une liste de données a été relevée.

♦ L'effectif total est le nombre total des données de la liste.

♦ L'effectif d'une donnée est le nombre de fois où cette donnée apparait dans la liste.

♦ La fréquence d'une donnée est le quotient de son effectif par l'effectif total.

♦ Une fréquence peut être donnée sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.

♦ Une fréquence est un nombre compris entre 0 et 1.

♦ La somme de toutes les fréquences est égale à 1.

On peut représenter une série statistique par :

♦ Un nuage de points : un graphique où on place les points correspondants à chaque donnée.

♦ Un diagramme en barres : un graphique où les effectifs des données sont représentés par des rectangles dont les hauteurs sont proportionnelles à l'effectif de chaque donnée.

♦ Un diagramme circulaire : un graphique où les effectifs des données sont représentés par des secteurs angulaires dont les mesures des angles sont proportionnelles à l'effectif de chaque donnée.

La moyenne , notée $\overline{x}$ , d'une série statistique ayant $k$ valeurs $x_1$ , $x_2$ ,......$x_k$    d'effectif respectif  $n_1$ , $n_2$ ,......$n_k$  est égale à : 

                      $\overline{x}=\dfrac{ n_1×x_1+n_2×x_2+......+n_k×x_k}{n_1+n_2+......+n_k}$

La moyenne d'une série statistique ayant $k$ valeurs $x_1$ , $x_2$ ,......$x_k$  de fréquences respectives  $f_1$ , $f_2$ ,......$f_k$  est égale à :

               $\overline{x}= f_1×x_1+f_2×x_2+......+f_k×x_k$

Pour calculer la moyenne d'une série constituée de deux groupes, on calcule la moyenne des deux groupes en pondérant leurs moyennes respectives par leurs effectifs totaux.

Lorsque toutes les valeurs d'une série de moyenne $\overline{x}$ sont transformées par une fonction affine $x \to mx+p$ , la moyenne de la nouvelle série est  $m×\overline{x}+p$

Dans une série ordonnée, on appelle médiane un nombre qui partage cette série en deux séries de même effectifs.

♦ Si l'effectif total est impair, la médiane est la valeur centrale de la série ordonnée.

♦ Si l'effectif total est pair, la médiane est la valeur moyenne des deux valeurs centrales de la série ordonnée.

♦ Le premier quartile , noté $Q_1 $ , est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des autres valeurs de la série sont inférieures ou égales à cette valeur.

♦ Le troisième quartile , noté $Q_3 $ ,est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 75 % des autres valeurs de la série sont inférieures ou égales à cette valeur.

L'étendue d'une série statistique est l'écart entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série.

Interprétation :

L'étendue permet de mesurer la dispersion des données d'une série statistique.

Comme elle ne dépend que des valeurs extrèmes, l'étendue ne donne pas d'indication sur la dispersion des autres données.

L'écart interquartile d'une série statistique de premier quartile $Q_1$ et de troisième quartile $Q_3$ est égal à la différence $I=Q_3 - Q_1$.

Remarques :

♦ L'écart interquartile d'une série mesure la dispersion des valeurs centrales ( autour de la médiane ).

♦ L'écart interquartile contient au moins 50% des valeurs de la série.

♦ L'écart interquartile n'est pas influencé par les valeurs extrêmes de la série.

♦ La variance $V$ d'une série statistique est la moyenne des carrés des écarts entre les valeurs et la moyenne. Pour une série de moyenne $ \overline{x}$ dont les valeurs sont $x_1$, $x_2$,  …, $x_k$ et les effectifs correspondants sont $n_1$, $n_2$,  …, $n_k$

on a : $V = \dfrac{ n_1× (x_1-\overline{x} )^2+n_2×(x_2-\overline{x})^2+......+n_k×(x_k-\overline{x})^2}{n_1+n_2+......+n_k}$

♦ L'écart-type $σ$ d'une série statistique de variance $V$ est égal à : $σ = \sqrt{V}$

Remarques :

♦L'écart-type exprime la dispersion des valeurs d'une série statistique autour de sa moyenne.

♦ Les valeurs extrêmes influencent l'écart-type.

♦ L'écart-type possède la même unité que les valeurs de la série.

Lorsqu'une série statistiques est composée de beaucoup de données différentes, il est pratique de regrouper ces données en classes.

On appelle amplitude d'une classe l'écart entre la valeur de début et la valeur de fin de la classe.

Un histogramme est un graphique où les effectifs des données sont représentés par des rectangles dont les aires sont proportionnelles à l'effectif de chaque donnée.

La moyenne d'une série dont les valeurs sont regroupées en classes est la moyenne des centres des classes pondérés par leur effectif.