Calcul intégral
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Calcul intégral. |
I. Unité d'aire d'un repère.
II. Intégrale d'une fonction continue et positive.
III. La fonction Aire.
♦ Définition.
♦ Calcul d'intégrales.
IV. Intégrales cas général.
♦ Définition.
♦ Propriétés.
♦ Intégration par parties.
V. Applications du calcul intégral.
♦ Aire d'une surface délimitée par deux courbes.
♦ Valeur moyenne d'une fonction.
A1
Estimation de l'aire sous la courbe de la fonction carrée sur $[\,0\;;\;1\;]$ par la méthode de Monte-Carlo.
A2
Calcul de l'aire sous la courbe de la fonction carrée sur $[\,0\;;\;1\;]$ par la méthode des rectangles.
u.a.
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Définition :
Dans un repère orthogonal $\left(\,O\,,\,I\,,\,J\,\right)$, soit $K$ le point de coordonnées $(\,1\,;\,1\,)$. L’aire du rectangle $OIKJ$ s’appelle l’unité d’aire du repère et se note $u.a.$ |
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Méthode :
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Convertir une unité d'aire en $cm^2$. |
int
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Définition :
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Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[\,a\,;\,b\,]$ et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'aire du domaine délimité par $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$, exprimée en $u.a.$, est appelée intégrale de $a$ à $b$ de la fonction $f$ et se note :$ \displaystyle \int_{ a }^{ b}{ f(x) }\;dx $
Remarques :
♦ Le nombre :$A$ = $ \displaystyle \int_{ a }^{ b}{ f(x) }\;dx $ ne dépend pas de $x$, on dit que $x$ est une variable muette, on peut écrire par exemple $A$ = $ \displaystyle \int_{ a }^{ b}{ f(t) }\;dt $
♦ Les nombres $a$ et $b$ sont appelés les bornes de l'intégrale.
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Outil :
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Calculateur d'intégrale d'une fonction continue et positive. |
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Définition :
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[\,a\, ; \,b\,]$ La fonction $F_a$ définie sur $[\,a\, ; \,b\,]$ par $F_a(x)=\displaystyle \int_{a}^{x}{f(t)}\;dt $ est la fonction qui a tout $x_0$ de $[\,a\, ; \,b\,]$ associe l’aire du domaine délimité par $C_f$ ; $y=0$, $x=a$ et $x=x_0$ |
Remarque :
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[\,a\, ; \,b\,]$
La fonction $F_a$ définie sur $[\,a\, ; \,b\,]$ par $F_a:x \mapsto \displaystyle \int_{a}^{x}{f(t)}\;dt $ est croissante.
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Théorème :
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Démonstration exigible. |
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[\,a\, ; \,b\,]$
La fonction $F_a$ définie sur $[\,a\, ; \,b\,]$ par $F_a:x \mapsto \displaystyle \int_{a}^{x}{f(t)}\;dt $ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$.
app
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Propriété :
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Démonstration exigible. |
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[\,a\, ; \,b\,]$
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[\,a\, ; \,b\,]$ alors $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\ dx=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(a)-F(b)$
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Méthode :
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Calculer et interpréter l'intégrale d'une fonction continue et positive. |
cas g
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Définition :
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Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ deux nombres de $I$.
Soit $F$ est une primitive de $f$ sur $I$.
On appelle intégrale de $a$ à $b$ de $f$ le nombre $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\ dx=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(a)-F(b)$
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Méthode :
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Calculer et interpréter l'intégrale d'une fonction continue et positive. |
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Remarque : Soit $f$ une fonction continue sur $[\,a\,;\,b\,]$ et $A$ l'aire de la surface délimitée par $C_f$ , $y=0$ , $x=a$ et $x=b$. ♦Si f est positive sur $[\,a\,;\,b\,]$ alors $\displaystyle \int_{a}^{b}{f(x)}\;dx=A$ ♦Si f est négative sur $[\,a\,;\,b\,]$ alors $\displaystyle \int_{a}^{b}{f(x)}\;dx=-A$ |
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Outil :
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Calculateur d'intégrale cas général. |
prop
♦ Propriétés.
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Propriété :
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Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ deux nombres de $I$.
Alors on a : ♦ $\displaystyle \int_{a}^{a}{f(x)}\;dx= 0$ ♦ $\displaystyle \int_{b}^{a}{f(x)}\;dx= -\int_{a}^{b}{f(x)}\;dx$
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Propriété :
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Propriété de linéarité. |
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, $a$ et $b$ deux nombres de $I$ , et $k$ un nombre réél.
Alors : ♦ $\displaystyle \int_{a}^{b}{k\;f(x)}\;dx= k \int_{a}^{b}{f(x)}\;dx$
♦ $\displaystyle \int_{a}^{b}{\left(f(x)+g(x) \right)}\;dx= \int_{a}^{b}{f(x)}\;dx+\int_{a}^{b}{g(x)}\;dx$
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Propriété :
Relation de M. Chasles. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ , $b$ et $c$ appartenant à $I$. Alors on a : $\displaystyle \int_{a}^{b}{f(x)}\;dx= \int_{a}^{c}{f(x)}\;dx+\int_{c}^{b}{f(x)}\;dx$ |
♦ Intégrales et inégalités.
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Propriété :
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Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ et $a≤b$ deux nombres de $I$
♦ Si $∀x∈I$ , $f(x)≥0 $ alors $\displaystyle \int_{a}^{b}{f(x)}\;dx≥0$
♦ Si $∀x∈I$ , $f(x)≥g(x) $ alors $\displaystyle \int_{a}^{b}{f(x)}\;dx≥\int_{a}^{b}{g(x)}\;dx$
ipp
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Propriété :
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Démonstration exigible. |
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $[\,a\, ; \,b\,]$
alors : $\displaystyle \int_{a}^{b}{u'(x)\;v(x)}\;dx= \left[ u(x)\;v(x) \right]_{a}^{b}- \int_{a}^{b}{u(x)\;v'(x)}\;dx $
2 courbes
♦ Aire d'une surface délimitée par deux courbes.
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Propriété :
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[\,a\,;\,b\,]$ de courbe représentative $C_f$ et $C_g$ telles que $g≤f$ sur $[\,a\,;\,b\,]$. Alors le domaine délimité par $C_f$ , $C_g$ , $x=a$ et $x=b$ a pour aire ( en u.a.) $\displaystyle A= \int_{a}^{b}{f(x)-g(x)}\;dx$ |
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Méthode :
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Calculer l'aire d'une surface délimitée par deux courbes. |
vm
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Définition :
Soit $f$ une fonction continue sur un $[\,a\,;\,b\,]$ ( avec a < b). On appelle valeur moyenne de $f$ sur $[\,a\,;\,b\,]$ le nombre $m$ défini par : $\displaystyle m=\dfrac{1}{b-a} \int_{a}^{b}{f(x)}\;dx$ Remarque : L'aire sous la courbe de $f$ est égale à l'aire sous la courbe de la fonction constante $x \mapsto m$. |
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Méthode :
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Calculer la valeur moyenne d'une fonction. |
Les savoir-faire du chapitre.
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Les savoir-faire du Chapitre : Calcul intégral. |
♦ Savoir convertir l'unité d'aire d'une repère en $cm^2$.
♦ Savoir encadrer graphiquement l'aire sous une courbe.
♦ Savoir déterminer graphiquement un encadrement d'une intégrale.
♦ Savoir déterminer une intégrale par calcul d'aire.
♦ Savoir encadrer une intégrale par des aires de rectangles.
♦ Savoir étudier une fonction définie par une intégrale.
♦ intégrales : cas général
♦ Savoir calculer une intégrale.
♦ Savoir utiliser les propriétés des intégrales.
♦ Savoir encadrer une intégrale.
♦ Savoir calculer une intégrale par parties.
♦ Savoir calculer l'aire entre deux courbes.
♦ Savoir calculer une valeur moyenne.
♦ Savoir étudier une suite d'intégrales.
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Démonstrations exigibles:
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♦ La fonction $\displaystyle F : x ↦ \int_{a}^{x}{ }ƒ(t)dt$ est une primitive de $ƒ$.
♦ Si $F $ est une primitive de $f $ alors $\displaystyle \int_{a}^{b}{ }ƒ(x)dx = F(b) - F(a)$.
♦ Formule de l'intégration par parties.