Continuité

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et a un nombre appartenant à I.

On dit que f est continue en a si lim (x→ a ) f( x ) = f( a).

On dit que f est continue sur I si f est continue en tout nombre de I.

Propriété :

Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle.

Théorème des valeurs intermédiaires  :

Soit f un fonction définie et continue sur [ a ; b ].

Tout nombre k compris entre f(a) et f(b) ] admet au moins un antécédent appartenant à [a ; b ]

Remarque  :  

Ce théorème ne permet pas de résoudre une équation mais de prouver l'existence d'au moins une solution d'une équation.

Théorème des valeurs intermédiaires  :

Soit f un fonction définie et continue sur [ a ; b ].

Si f est strictement monotone sur [a ; b ], alors tout nombre k compris entre f(a) et f(b)

admet exactement un antécédent appartenant à [a ; b ].

Point Méthode :

Point Méthode :

On peut déterminer un encadrement de la solution en utilisant un tableau de valeurs de la fonction.

Point Méthode :

Pour construire les termes d'une suite définie par u n+1 = f (u n), on utilise la représentation de f et la droite qui a pour équation y=x.

Propriété :

Soit f un fonction définie et continue sur un intervalle I.

Soit (un ) une suite telle que ∀ n ∈ ?,  un ∈ I et u n+1 = f (un)

Si (un) converge vers l alors f(l)=l. 

♦ Savoir étudier graphiquement la continuité d'une fonction.

♦ Savoir étudier la continuité d'une fonction.

♦ Savoir déterminer le nombre de solutions d'une équation avec un tableau de variations.

♦ Comprendre le théorème des valeurs intermédiaires.

♦ Savoir utiliser le théoréme des valeurs intermédiaires.

♦ Savoir encadrer une solution d'une équation.

♦ Savoir encadrer une solution d'une équation avec la calculatrice.

♦ Savoir construire les termes d'une suite définie par récurrence.

♦ Savoir déterminer la limite d'une suite définie par récurrence.

♦ Savoir déterminer les variations  d'une suite avec une fonction associée.