Convergence momotone.
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I. Suites majorées, minorées, bornées.
II. Convergence des suites monotones.
Suites bornées
Définition : Soit (un) une suite numérique.
♦ On dit que la suite (un) est majorée s'il existe un réel M tel que pour tout entier n , un ≤ M.
♦ On dit que la suite (un) est minorée s'il existe un réel m tel que pour tout entier n , un ≥ m.
♦ On dit que la suite (un) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Point Méthode : Prouver une propriété en utilisant le raisonement par récurrence.
Remarque :
♦ Si une suite (un) est majorée par un réel M alors elle est majorée par tous nombres plus grand que M.
♦ Si une suite (un) est minorée par un réel m alors elle est minorée par tous nombres plus petit que m.
Point Méthode : Prouver une propriété en utilisant le raisonement par récurrence.
th cv monotone
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Propriété : Soit (un) une suite croissante définie sur ?. Si lim un ( n→+∞) = L alors la suite (un) est majorée par L. |
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♦ Si une suite croissante est majorée alors elle est convergente. ♦ Si une suite décroissante est minorée alors elle est convergente. |
Remarque :
Ce théorème permet de prouver qu'une suite converge.
Il ne nous donne pas la limite de la suite, mais nous permet de prouver que la limite existe.
Point Méthode : Déterminer une limite après avoir utilisé le théorème de convergence monotone.
Applications
Propriété ( démonstration exigible ) :
Si une suite croissante est non majorée alors elle tend vers +∞.
Propriété :
Si une suite décroissante est non minorée alors elle tend vers -∞.
