Convexite

I. Dérivée seconde d'une fonction.

II. Fonctions concaves, fonctions convexes.

III. Point d'inflexion.

IV. Application de la convexité

Définition : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, et f' sa fonction dérivée.

On dit que f est dérivable deux fois sur I lorsque f' est dérivable sur I.

On note f'' la fonction dérivée de f' et on l'appelle la dérivée seconde de f.

Définition : Soit f une fonction définie sur sur un intervalle I et Cf sa courbe représentative.

♦ On dit que f  est convexe sur I si pour tous nombres a et b de I, la portion de Cf comprise entre les points A ( a ; f(a) ) et B ( b ; f(b) ) est située au dessous du segment [ AB ].

♦ On dit que f  est concave sur I si pour tous nombres a et b de I, la portion de Cf comprise entre les points A ( a ; f(a) ) et B ( b ; f(b) ) est située au dessus du segment [ AB ].

Remarque  :  

Étudier la convexité d'une fonction signifie préciser les intervalles sur lesquels la fonction est convexe et ceux sur lesquels la fonction est concave.

Définition : Soit f une fonction définie sur sur un intervalle I et Cf sa courbe représentative.

♦  f  est convexe sur I ⇔ Cf est située au dessus des ses tangentes pour tout nombre de I

♦ f  est concave sur I ⇔ Cf est située au dessous des ses tangentes pour tout nombre de I

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et Cf sa courbe représentative. Soit A un point de Cf.

On dit que A est un point d'inflexion de Cf si Cf admet une tangente en A et si Cf traverse cette tangente en A

Remarque  :  

En l'abscisse du point d'inflexion, la fonction change de convexité.

Propriété ( démonstration exigible ) : Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

♦ f est convexe sur I ⇔ f' est croissante sur I ⇔ f'' est positive sur I.

♦ f est concave sur I ⇔ f' est décroissante sur I ⇔ f'' est négative sur I.

Point Méthode :

♦ Savoir déterminer l'expression de la dérivée seconde d'une fonction.

♦ Savoir reconnaitre graphiquement une fonction convexe.

♦ Savoir étudier graphiquement la convexité d'une fonction.

♦ Savoir étudier la convexité d'une fonction.

♦ Savoir reconnaitre graphiquement un point d'inflexion.

♦ Savoir déterminer l'abscisse d'un point d'inflexion d'une courbe.

♦ Savoir étudier la convexité d'une fonction pour résoudre un problème.

♦ Savoir prouver une inégalité en utilisant la convexité d'une fonction.

                       Démonstration exigible                                                                                                                                                                                                             

♦  f est convexe si f' est croissante.