Équations cartésiennes
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I. Représentation paramétrique d'une droite.
II. Équations cartésiennes de plan.
III. Intersection d’un plan et d’une droite.
Représentation parametrique de droite
Propriété :
La droite (d) passant par A et de vecteur directeur u est l’ensemble des points M de l'espace tels que les vecteurs AM et u sont colinéaires.
Un point M de l'espace appartient à (d) si et seulement si il existe un nombre réel t tel que AM = t u
Définition : Soit ( O ; i ; j ; k ) un repère de l'espace et (d) une droite passant par A ( xA ; yA ; zA ) et de vecteur directeur u ( a ; b ; c )
Pour tout point M de l'espace on a : M ∈ (d) ⇔ { xM = xA + t xu , yM = yA + t yu , zM = zA + t zu .
Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite (d).
Point Méthode : Déterminer si un point appartient à une droite avec une représentation paramétrique.
Point Méthode : Déterminer la représentation paramétrique d'une droite.
Équations cartésienne de plan
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Propriété : Soit A un point et n un vecteur. Le plan (P) passant par A et de vecteur normal n est l'ensemble des points M de l'espace tels que AM et n soit orthogonaux.
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Propriété ( démonstration exigible ) L'espace est muni d'un repère orthonormé ( O; i,j,k ). Soit (P) le plan passant par A ( xA ; yA ; zA ) et de vecteur normal n ( a ; b ; c ) (P) est l'ensemble des points M de l'espace dont les coordonnées vérifient l'équation ax+by+cz+d = 0, avec d =-axA-byA-czA. Cette équation est appelée équation cartésienne de (P).
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Propriété : Soit d un nombre réel. L'ensemble des points M de l'espace dont les coordonnées vérifient l'équation ax+by+cz+d = 0 est un plan de vecteur normal n ( a ; b ; c ).
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Point Méthode : Déterminer une équation cartésienne d'un plan.
Applications
Point Méthode : Déterminer si un point appartient à un plan.
Point Méthode : Déterminer un vecteur normal à un plan.
Point Méthode : Déterminer si deux plans sont parallèles.
Point Méthode : Déterminer si deux plans sont perpendiculaires.
intersection
Point Méthode : Déterminer les coordonnées du point d'intersection d'un plan et d'une droite.
♦ Cas du projeté orthogonal d'un point sur un plan.
Point Méthode : Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur un plan.
Savoir-faire
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Les savoir-faire du Chapitre : Équations cartésiennes de plan. |
♦ Savoir déterminer si deux vecteurs de l'espace sont colinéaires.
♦ Savoir déterminer si un point appartient ou non à une droite avec une représentation paramétrique.
♦ Savoir déterminer si un vecteur est directeur d'une droite ou non avec une représentation paramétrique.
♦ Savoir déterminer une représentation paramétrique d'une droite.
♦ Savoir utiliser la représention paramétrique d'un droite.
♦ Savoir déterminer si un point appartient à un plan défini par un point et un vecteur normal.
♦ Savoir déterminer une équation cartésienne d'un plan.
♦ Savoir déterminer un vecteur normal à un plan avec une équation cartésienne.
♦ Savoir démontrer qu'un point appartient à un plan avec une équation cartésienne.
♦ Savoir déterminer si deux plans sont perpendiculaires ou non.
♦ Savoir déterminer les coordonnées du point d'intersection d'une droite et d'un plan.
♦ Savoir déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur un plan.
♦ Savoir calculer la distance entre un point et un plan.
Démonstration exigible
♦ Équation cartésienne d'un plan défini par un vecteur normal et un point