Fn ln
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La fonction logarithme népérien. |
I. La notation ln.
II. La fonction logarithme népérien.
III.Fonction composée avec ln.
Activité
♦ Activité n°1.
♦ Activité n°2.
def
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Définition :
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On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a, l'unique solution de l'équation $e^x=a$. On note cette solution $ln(a)$.
La fonction logarithme népérien, notée $ln$, est la fonction définie sur $]0 ; +∞[$ par $ln:x\to ln(x)$
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Outil :
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Calculateur de ln |
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Propriété :
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Valeurs particulières : ♦ $ln (1) = 0$ ♦ $ln (e) = 1$ ♦ $ln \left(\small{\dfrac{1}{e}}\right) = -1$
♦ $∀x>0$ : $y = ln (x) ⇔ x= e^y$ ♦ $∀x∈ℝ$ : $ ln (e^x)=x$ ♦ $∀x>0$ : $ e^{ln(x)}=x$
Les fonctions $exp$ et $ln$ sont des fonctions réciproques l'une de l'autre.
Les courbes représentatives des fonctions $exp$ et $ln$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$. |
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Remarque :
Dans le domaine scientifique, on utilise la fonction $logarithme$ $décimale$, notée $log$, et définie par $log(x)=\dfrac{ln(x)}{ln(10)}$.
C'est une fonction qui a les même propriété que $ln$ et qui vérifie $log(10)=1$
prop
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Propriété :
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Relation fonctionnelle |
Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs, on a : $ln(x × y) = ln(x) + ln (y)$
On dit que le logarithme permet de transformer un produit en somme.
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Propriété :
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Pour tous réels x et y strictement positifs, on a :
♦ $ln \left(\small{\dfrac{1}{x} }\right) = -ln(x)$ ♦ $ln \left(\small{\dfrac{x}{y}}\right) = ln(x)-ln(y)$ ♦ $ln \left( \sqrt{x}\right) = \small{\frac{1}{2}}ln(x)$
♦ $ln (x^n) =n\;ln(x) $ pour tout n entier relatif.
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Méthode :
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Simplifier une expression contenant des logarithmes. |
equations
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Propriété :
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Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs, on a : $ln(x) = ln (y) ⟺ x = y$
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Méthode :
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Résoudre une équation du type $(E):ln(x)=a$ |
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Méthode :
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Résoudre une équation du type $(E) : e^{A(x)}=b$ |
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Méthode :
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Résoudre une équation du type $(E) : a^x=b$ |
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Méthode :
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Résoudre une équation du type $(E) : x^a=b$ |
etude ln
♦ Dérivabilité.
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Propriété :
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Démonstration exigible. |
La fonction logarithme népérien est dérivable sur $]0 ; +∞[$ et pour tout $x>0$ $(\,ln (x) \,) ' = \dfrac{1}{x}$ .
♦ Sens de variation , convexité et signes.
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Propriétés :
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♦ La fonction logarithme népérien est $croissante$ sur $]0 ; +∞[$
conséquence : Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs, on a : $ln(x) < ln (y) ⟺ x < y$
♦ La fonction logarithme népérien est $concave$ sur $]0 ; +∞[$
♦ Limites et tableau de variations
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Propriété :
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On admet que : ♦ $\lim\limits_{ \begin{array}{} x \to 0\\ x>0 \end{array} } \;ln(x)=-\infty$ ♦ $\lim\limits_{ x \to +\infty } \;ln(x)=+\infty$
Étudier une fonction avec ln
♦ Dériver une fonction contenant ln.
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Méthode :
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Dériver une fonction contenant ln |
♦ Limites
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Méthode :
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Calculer une limite avec ln |
♦ Étudier une fonction contenant ln.
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Méthode :
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Étudier une fonction contenant ln |
cc
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Propriété :
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Démonstration exigible. |
♦ $\lim\limits_{ x \to +∞ } \dfrac{ln(x) }{ x}=0 $ et $∀ n ∈ ℕ $ $\lim\limits_{ x \to +∞ } \dfrac{ln(x) }{ x^{n}}=0 $
♦ $\lim\limits_{ \begin{array}{}x \;\to\; 0 \\ x>0\end{array} } x\,ln(x)=0 $ et $∀ n ∈ ℕ $ $\lim\limits_{\begin{array}{}x \;\to\; 0 \\ x>0\end{array} } x^{n}\, ln(x)=0 $
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Remarque : Les fonctions puissances imposent leur limite devant la fonction logarithme népérien. |
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Méthode :
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Déterminer une limite par croissance comparée |
ln(u)
♦ Ensemble de définition.
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Propriété :
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Soit $u$ une fonction, la fonction $ln(x)$ est définie pour tout réel $x$ tel que $u(x)>0$
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Méthode :
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Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction $ln(U)$ |
♦ Limites.
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Propriétés :
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En utilisant les propriétés des limites d'une composée de fonction on obtient :
Si $\displaystyle \lim_{ x \to a }u(x)=l$ alors $\displaystyle \lim_{ x \to a } ln(u(x))=\displaystyle \lim_{ x \to l }ln(x) $
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Méthode :
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Calculer la limite d'une fonction $ln(U)$ |
♦ Dérivée.
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Propriété :
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La fonction $ln(U)$ est dérivalble sur son ensemble de définition est on a $\left( ln(U) \right)'=\dfrac{U'}{U}$
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Méthode :
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Déterminer la dérivée d'une fonction $ln(U)$ |
Les savoir-faire du chapitre.
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Les savoir-faire du Chapitre : Convergence monotone. |
♦ Savoir simplifier une expression avec du ln.
♦ Savoir résoudre une équation en utilisant ln.
♦ Savoir résoudre une équation avec des puissances.
♦ Savoir étudier la fonction ln.
♦ Savoir résoudre une inéquation contenant des logarithmes.
♦ Savoir dériver une fonction avec ln.
♦ Savoir calculer des limites de fonctions avec ln.
♦ Savoir étudier une fonction avec ln.
♦ Savoir étudier la position relative de la courbe de ln et y=x.
♦ Savoir calculer des limites d'une fonction ln(u).
♦ Savoir dériver une fonction ln(u).
♦ Savoir étudier une fonction ln(u).
Démonstrations exigibles
♦ Détermination de la fonction dérivée de la fonction logarithme.
♦ limite en 0 de x → x ln(x).