Limite de suite.
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♦ Le cours à compléter : |  |
♦ Le cours complété : | |
I. Limite infinie d'une suite numérique.
II. Limite finie d'une suite numérique.
III. Suites convergentes.
IV. Limites des suites de référence.
V. Opérations sur les limites.
VI. Théorèmes de comparaison.
VII. Limite d'une suite géométrique.
VIII. Exercice bilan sur les suites arithmético-géométrique.
Limite infinie d'une suite
♦ lim (n→ +∞) un = +∞
Remarque :
Les termes de la suite deviennent aussi grand que l'on souhaite à partir d'un certain rang.
Pour tout nombre réel A, il existe un rang n0 à partir duquel l'intervalle ] A ; +∞ [ contient tous les termes de la suite.
Définition :
On dit que la suite (un) admet pour limite +∞, si pour tout nombre A, il existe un rang à partir duquel l'intervalle ] A ; +∞[, contient tous les termes de la suite.
On note : lim (n→+∞) un = +∞
Traduction en langage mathématique :
lim (n→+∞) un = +∞ ⇔ ∀ A ∈ ℝ, ∃ n0 / ∀ n ≥ n0 un ≥ A
♦ lim (n→ +∞) un = -∞
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Définition : On dit que la suite (un) admet pour limite +∞, si pour tout nombre A, il existe un rang à partir duquel l'intervalle ] A ; +∞[, contient tous les termes de la suite. On note : lim (n→+∞) un = +∞
Traduction en langage mathématique :
lim (n→+∞) un = +∞ ⇔ ∀ A ∈ ℝ, ∃ n0 / ∀ n ≥ n0 un ≥ A
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Limite finie
Remarque :
Les termes de la suite deviennent aussi proches de 2 qu'on le souhaite.
Si on prend un intervalle ouvert quelconque contenant 2, tous les termes de la suite appartiennent à cet intervalle à partir d'un certain rang.
Définition :
On dit que la suite (un) admet pour limite L , si tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On dit alors que (un) converge vers l et on écrit : lim (n→+∞) un = L
Traduction en langage mathématique :
lim (n→+∞) un = L ⇔ ∀ I intervalle ouvert contenant L , ∃ n0 / ∀ n ≥ n0 un ∈ I
suites convergentes
Définition :
On dit qu'une suite est convergente si elle a une limite finie.
On dit qu'une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
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Remarques :
♦ Une suite qui a pour limite + ∞ ou - ∞ est divergente. ♦ Certaines suites sont divergente et n'ont pas de limite.
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Point Méthode : Conjecturer la convergence d'une suite avec un tableau de valeur.
Point Méthode : Conjecturer graphiquement la convergence d'une suite.
suites de référence
Propriété :
♦ $\lim\limits_{ n \to +\infty }u_n=+\infty$
On dit qu'une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
Opérations sur les limites
♦ Limite d'une somme de suites
Propriété :
Point Méthode : Déterminer la limite d'une somme de suites
♦ Limite d'un produit de suites
Propriété :
Point Méthode : Déterminer la limite d'un produit de suites niveau 1
Point Méthode : Déterminer la limite d'un produit de suites niveau 2
♦ Limite d'un quotient de suites
Propriété :
Point Méthode : Déterminer la limite d'un quotient de suites
Theorèmes de comparaison
♦ Théorème de comparaison.
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Propriété ( démonstration exigible ) Soit (un) et (vn) deux suites définies sur N. Si à partir d'un certain rang un ≤ vn alors :
♦ si lim (n→ +∞) un = +∞ alors on peut affirmer que lim (n→ +∞) vn = +∞.
♦ si lim (n→ +∞) vn = -∞ alors on peut affirmer que lim (n→ +∞) un = -∞.
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Point Méthode : Déterminer une limite avec le théorème de comparaison
♦ Théorème des gendarmes.
Propriété : théorème des gemdarmes
Soit (un) , (vn) et (wn ) 3 suites définies sur N,
Si à partir d'un certain rang wn ≤ un ≤ vn et que lim (n→ +∞) wn =lim (n→ +∞) vn = l
alors on peut affirmer que (un) converge et que lim (n→ +∞) un = l.
Point Méthode : Déterminer une limite avec le théorème des gendarmes
Limite d'une suite géométrique.
♦ lim(n→ +∞) qn.
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Propriété : ( démonstration exigible pour q > 1 )
♦ Si q > 1 alors lim (n→ +∞) qn = +∞
♦ Si -1 < q < 1 alors lim (n→ +∞) qn = 0
♦ Si q < -1 alors (un) n'a pas de limite.
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♦ Limite d'une suite géométrique
Point Méthode : Déterminer la limite d'une suite géométrique
♦ Limite de la somme des termes d'une suite géométrique.
Point Méthode : Déterminer une limite d'une somme de terme d'une suite géométrique
Les savoir-faire du chapitre.
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Les savoir-faire du Chapitre : Limite d'une suite. |
♦ Savoir conjecturer la limite d'une suite.
♦ Savoir conjecturer graphiquement la limite d'une suite.
♦ Savoir déterminer un seuil avec un algorithme.
♦ Connaitre les limites des suites usuelles.
♦ Savoir calculer une limite par opération.
♦ Savoir calculer une limite avec une forme indéterminée.
♦ Savoir utiliser les théorèmes de comparaison.
♦ Savoir utiliser le théorème d'encadrement .
♦ Savoir déterminer la limite d'une suite de terme général q^n.
♦ Savoir déterminer la limite d'une suite géométrique.
♦ Savoir déterminer la limite d'une suite arithmético-géométrique.
♦ Savoir déterminer la limite d'une somme de termes d'une suite géométrique.