loi binomiale

I. Répétition d'expériences indépendantes.

II. Épreuve de Bernoulli, Schéma de Bernoulli.

 Épreuve de Bernoulli.

 Schéma de Bernoulli.

III. Loi binomiale.

Utiliser des outils pour la loi binomiale.

Définition : 

Lorsque deux expériences aléatoires se succèdent et que les résultats de la première expérience n’ont aucune influence sur les résultats de la seconde, on dit qu’il s’agit d’une succession d' épreuves indépendantes.

Définition : 

Lorsqu'une épreuve aléatoire se compose d'une succession de n épreuves indépendantes E1, E2, .... En,

l'univers des issues possibles est le produit cartésien Ω1×Ω2×... Ωn  où Ωi désigne l'univers des épreuves de Ei.

une issue de la succession d'épreuves est un n_uplet (i1 ; i2; ....1n ) ou ip est une issue de Ei

Propriété : 

Lors d'une répétition de n épreuves indépendantes, la probabilités d'une issue est égale au poduit des probabilité de chacunes des issues du n_uplet.

Point Méthode : Calculer des probabilités lors d'une succession d'épreuves indépendantes.

Définition  :

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues que l'on peut nommer "Succès" ou "Échec".

Lorsque la probabilité du "Succès" est p, on dit qu'il s'agit d'une épreuve de Bernoulli de paramètre p.

Point Méthode : Déterminer une loi de Bernoulli

Propriété  :

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli B ( 1 ; p ),

alors :   ♦ E(X)= p               ♦ V(X)= p(1-p) 

Définition  :

Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Si p est la probabilité d'un succès dans les épreuves, on dit que n et p sont les paramétres du schéma de Bernoulli.

Remarque  :  Pour la répétition de népreuves de Bernoulli, l’univers est {0, 1}ⁿ

Point Méthode : Modéliser une situation par un shéma de Bernoulli

Propriété  : Dans un schéma de Bernoulli de paramètre n et p, 

la probabilité d'un chemin ayant exactement k succès ( 0 ≤ k ≤ n ) est : p k ( 1-p ) n-k 

Point Méthode : Déterminer la probabilité d'un chemin dans un shéma de Bernoulli.

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Propriété ( démonstration exigible ) : Dans un schéma de Bernoulli de paramètre n et p, 

la probabilité d'avoir exactement k succès ( 0 ≤ k ≤ n ) est :  (n k ) p k ( 1-p ) n-k 

Point Méthode : Déterminer la probabilité d'avoir exactement k Succès dans un shéma de Bernoulli.

Définition  : On considère un schéma de Bernoulli de paramétres n et p.

Soit X la variable aléatoire associée au nombre de succès.

On dit que X suit la loi binomiale de paramétres n et p. On note cette loi B ( n ; p ).

Point Méthode : Modéliser une situation par une loi binomiale.

Propriété  : On considère un schéma de Bernoulli de paramétres n et p.

Soit X la variable aléatoire qui suit la loi binomiale B ( n ; p ).

∀ k ∈ ? tel qu 0 ≤ k ≤ n p( X = k ) =  (n k ) p k ( 1-p ) n-k 

Point Méthode : Calculer des probabilités avec une loi binomiale

Outil : Calculateur de probabilité avec un loi binomiale :

Propriété  ( démonstration exigible ):

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B ( n ; p ),

alors :   ♦ E(X)= np               ♦ V(X)= np(1-p)            ♦ σ(X)= √ np(1-p) 

Point Méthode : Utiliser l'espérance d'une loi binomiale.

♦ Savoir représenter des tirages successifs par un arbre.

♦ Savoir exploiter une succession d'épreuves indépendantes.

♦ Savoir exploiter une épreuve de Bernouilli.

♦ Savoir calculer une probabilité avec un schéma de Bernoulli d'ordre 2.

♦ Savoir calculer une probabilité avec un schéma de Bernoulli d'ordre 3.

♦ Savoir calculer la probabilité d'un chemin dans un schéma de Bernoulli.

♦ Savoir calculer le nombre de chemin ayant k succès dans un schéma de Bernoulli. 

♦ Savoir calculer une probabilité avec la loi binomiale.

♦ Savoir calculer l'espérance d'une loi binomiale.

♦ Savoir calculer la variance et l'écart type d'une loi binomiale.

♦ Savoir représenter une loi binomiale.

♦ Savoir déterminer un intervalle de fluctuation avec la loi binomiale.

♦ Expression de la loi binomiale à l’aide des coefficients binomiaux.

♦ Calculer l'espérance et la variance pour une loi binomiale.

                       Démonstration exigible                                                                                                                                                                                              

♦ Expression de la loi binomiale à l’aide des coefficients binomiaux.

♦ Calculer l'espérance et la variance pour une loi binomiale.