Primitives equa diff
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Primitives et équations différentielles. |
I. Notions d'équations différentielles.
II. Primitive d’une fonction continue.
III. Primitives et opérations.
IV.Résolution d'équations différentielles
I. Notions d'équations différentielles.
II. Primitive d’une fonction continue.
III. Primitives et opérations.
IV.Résolution d'équations différentielles
primitive
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Définition :
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Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
On appelle primitive de $f$ sur $I$, une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F’ = f$.
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Méthode :
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Prouver qu’une fonction donnée est une primitive. |
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Propriété :
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Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
Remarque :
Bien que l'existence soit assurée, la forme explicite d'une primitive n'est pas toujours connue. Par exemple, la fonction $x \to e^{-x^2}$ ne possède pas de primitive sous forme explicite.
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Propriété :
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Soit $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$.
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ alors ∀k∈ℝ, la fonction $x \to F(x)+k$ est une primitive de $f$ sur $I$.
Exemples :
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Propriété :
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Démonstration exigible. |
Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
prim part
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Propriété :
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Soit $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$.
Soit $x_0$ et $y_0$ deux nombres réels.
Alors Il existe une unique primitive $F_0$ de $f$ qui vérifie $F(x_0)=y0$.
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Méthode :
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Déterminer l'expression d'une primitive particulière. |
prim ref
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Méthode :
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Déterminer l'expression d'une primitive d'une fonction de référence. |
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Méthode :
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Déterminer la primitive particulière d'une fonction de référence. |
op prim
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Propriété :
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Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $I$.
Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ est une primitive de $g$ sur $I$ alors :
♦ $F+G$ est une primitive de $f +g$, ♦ $kF$ est une primitive de $kf$ avec $k$ réel.
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Méthode :
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Déterminer l'expression d'une primitive par opération. |
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Méthode :
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Déterminer l'expression d'une primitive particulière. |
prim comp
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Méthode :
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Déterminer l'expression d'une primitive d'une fonction composée. |
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Méthode :
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Déterminer l'expression d'une primitive d'une fonction $u'\,e^u$. |
calculateurs
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Outil :
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Calculateur de fonction dérivée. |
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Outil :
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Calculateur de primitive |
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Outil :
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Calculateur d'une primitive particulière. |
equa_diff
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Définition :
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♦ Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction.
♦ Une solution d’équation différentielle est une fonction qui vérifie cette égalité.
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Méthode :
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Montrer qu’une fonction est une solution d'une équation différentielle. |
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Méthode :
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Montrer qu’une fonction est une solution d'une équation différentielle. |
equdif 1
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Définition :
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Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
On dit que la fonction $g$ est une solution de l’équation différentielle $(E):y'=f$ sur I si et seulement si, $g$ est dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ de $I$, on a : $g'(x)=f$
Remarque :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
Les solutions de l'équation différentielle $(E):y'=f$ sont les primitives de $f$.
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Méthode :
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Résoudre une équation différentielle du type $(E): y'=f$. |
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Méthode :
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Déterminer une solution particulière d'une équation différentielle $(E): y'=f$ |
y'=ay
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Propriété :
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Démonstration exigible |
Les solutions de l’équation différentielle $(E): y’ = ay$, $a ∈ ℝ$, sont les fonctions de la forme $x ⟼ Ce^x$, où C est une constante réelle quelconque.
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Méthode :
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Donner la forme générale des solutions de $(E):y'=ay$ |
y'=ay 2
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Propriété :
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Si $f$ et $g$ sont deux solutions de l’équation différentielle $(E):y’ = ay$, $a ∈ ℝ$, alors $f+g$ et $kf$, $k ∈ ℝ$, sont également solutions de l’équation différentielle $(E)$.
Remarque :
Pour un réel $a$ fixé ( $a≠0$ ), les courbes des solutions de l'équation $(E):y'=ay$ ont les allures suivantes:
♦ Solution particulière d'une équation $(E):y'=ay$
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Méthode :
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Déterminer une solution particulière Niveau 1 |
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Méthode :
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Déterminer une solution particulière Niveau 2 |
y=ay+b
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Propriété :
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Soit $a$ et $b$ deux réels non nul et l’équation différentielle $(E):y’ = ay+b$
♦ $(E)$ admet une unique solution particulière constante qui est la fonction $x ⟼ -\dfrac{b}{a}$
♦ Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x ⟼ Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}$ , où $C$ est une constante réelle.
♦ Pour tous nombres réels $x_0$ et $y_0$ , l’équation $(E)$ admet une unique solution $f_0$ vérifiant $f_0(x_0)=y_0$
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Méthode :
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Résoudre une équation différentielle $(E):y'=ay+b$ niveau 1 |
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Méthode :
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Résoudre une équation différentielle $(E):y'=ay+b$ niveau 2 |
y'=ay+f
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Propriété :
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Soit $a$ un nombre réel et $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
Soit l’équation différentielle $(E):y’ = ay+f$ et $g$ une solution particulière de $(E)$ sur $I$.
Les solutions de $(E)$ sur $I$ sont les fonctions $f:x ⟼ Ce^{ax}+g(x)$ , où $C$ est une constante réelle.
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Méthode :
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Résoudre une équation différentielle $(E):y'=ay+f$ |
Les savoir-faire du chapitre.
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Les savoir-faire du Chapitre : Primitives et équations différentielles. |
♦ Savoir vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle.
♦ Savoir vérifier qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée.
♦ Savoir determiner une primitive particulière.
♦ Savoir déterminer une primitive d'une fonction de référence.
♦ Savoir déterminer une primitive par opération.
♦ Savoir déterminer une primitive de fonction composée.
♦ Savoir résoudre une équation différentielle du type $y'=ay$ .
♦ Savoir résoudre une équation différentielle du type $y'=ay+b$ .
♦ Savoir résoudre une équation différentielle du type $y'=ay+f$ .
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Démonstrations exigibles:
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♦ Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.
♦ Solutions de l’équation différentielle $y’=ay$