Rappels sur les suites numériques.
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I. Définition.
II. Deux différents modes de création d’une suite.
Suites définies par une formule explicite.
Suites définies par récurrence.
III. Représentation graphique d'une suite.
IV. Sens de variation d'une suite numérique.
V. Suites arithmétiques.
VI. Suites géométriques.
VII. somme des termes d'une suites.
definition
Définition :
Une suite numérique (un) est une liste ordonnée de nombres réels telle qu'à tout entier n on associe un nombre réel noté un.
un0 est appelé le terme initial de la suite. un est appelé le terme de rang (ou d'indice ) n de cette suite.
♦ Suites définies en fonction de n.
Définition :
Définir une suite par une formule explicite c'est, pour tout entier naturel n donner une relation de la forme un=f(n).
où f est une fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [.
Point Méthode : Calculer un terme d'une suite définie en fonction de n.
Outil : Calculateur de termes d'une suite définie par une formule explicite :
♦ Suites définies par récurrence.
Définition :
Définir une suite par une formule de récurrence c'est donner la valeur du terme initial et un procédé qui permet de calculer un terme à partir du précédent.
On dit aussi que f est définie par une relation du type : u n+1 = f ( un)
Point Méthode : Calculer un terme d'une suite définie par récurrence
Outil : Calculateur de termes d'une suite définie par récurrence
représentation
Définition :
Dans un repère du plan, on représente une suite (un) par le nuage de points de coordonnées ( n ; un), n ∈N
variations
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Définition : Soit (un ) une suite numérique. ♦ On dit que (un) est croissante lorsque, pour tout n de ? , un+1 ≥ un. ♦ On dit que (un) est décroissante lorsque, pour tout n de ? , un+1 ≤ un.
Remarque :
♦ On dit que (un) est croissante à partir d'un rang p, lorsque, pour tout n ≥ p , un+1 ≥ un. ♦ On dit que (un) est décroissante à partir d'un rang p, lorsque, pour tout n ≥ p , un+1 ≤ un.
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Point Méthode : Étudier les variations d'une suite.
♦ Variations et fonction associée
Propriété :
Soit une fonction f définie sur [0 ; +∞[ et une suite numérique (un) définie sur ? par un = f(n).
Soit un entier p.
♦ Si f est croissante sur l'intervalle [p ; +∞ [, alors la suite (un) est croissante à partir du rang p.
♦ Si f est décroissante sur l'intervalle [p ; +∞ [, alors la suite (un) est décroissante à partir du rang p.
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Remarque :
Attention la réciproque est fausse... ♦ (un) peut être croissante alors que f ne l'est pas. ♦ (un) peut être décroissante alors que f ne l'est pas.
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Suites arithmétiques
Définition :
Une suite (un) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que pour tout entier n, on a : un+1= un+ r.
Le nombre r est appelé raison de la suite.
Point Méthode : Déterminer si une suite est arithmétique ou non.
Propriété :
Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0.
Alors, pour tout entier naturel n, on a : un = u0+ nr
Point Méthode : Déterminer la forme explicite d'une suite arithmétique.
Point Méthode : Déterminer le premier terme et la raison d'une suite arithmétique.
suites geometriques
Définition :
Une suite (un) est une suite géométique s'il existe un nombre q tel que pour tout entier n, on a : un+1= q × un.
Le nombre q est appelé la raison de la suite ( un ).
Point Méthode : Démontrer qu'une suite est géométrique niveau 1.
Point Méthode : Démontrer qu'une suite est géométrique niveau 2.
Propriété :
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0.
Alors, pour tout entier naturel n, on a : un = u0 × q n
Point Méthode : Déterminer la forme explicite d'une suite géométrique.
Point Méthode : Déterminer le premier terme et la raison d'une suite géométrique.
somme des termes
♦ Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique.
Propriété :
soit n un entier naturel alors : 1+2+3+.....+ n-1+ n = n ( n+1 ) / 2
Point Méthode : Calculer une somme d'entiers consécutifs.
Point Méthode : Calculer la somme des termes d'une suite arithmétique.
Les savoir-faire du chapitre.
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Les savoir-faire du Chapitre : Rappels sur les suites numériques. |
♦ Savoir traduire une situation par une suite.
♦ Savoir calculer un terme d'une suite définie en fonction de n.
♦ Savoir exprimer un terme d'une suite en fonction de n.
♦ Savoir calculer les premiers termes d'une suite définie par récurrence.
♦ Savoir calculer un terme d'une suite par récurrence avec un algorithme.
♦ Savoir étudier les variations d'une suite.
♦ Savoir étudier les variations d'une suite à l'aide d'une fonction associée.
♦ Savoir représenter une suite.
♦ Savoir construire les termes d'une suite définie par récurrence.
♦ Savoir démontrer qu'une suite est arithmétique.
♦ Savoir déterminer l'expression explicite d'une suite arithmétique.
♦ Savoir utiliser la définition explicite d'une suite arithmétique pour calculer un terme.
♦ Savoir calculer le premier terme et la raison d'une suite arithmétique.
♦ Savoir étudier le sens de variations d’une suite arithmétique.
♦ Savoir reconnaitre la représentation d'une suite arithmétique.
♦ Savoir reconnaitre une progression géométrique.
♦ Savoir démontrer qu'une suite est géométrique.
♦ Savoir déterminer l'expression générale d'une suite géométrique.
♦ Savoir calculer un terme en utilisant l'expression générale d'une suite géométrique.
♦ Savoir calculer le premier terme et la raison d'une suite géométrique.
♦ Savoir déterminer les variations d’une suite géométrique.
♦ Savoir reconnaitre le représentation d'une suite géométrique.
♦ Savoir étudier une suite arithmético-géométrique.
♦ Savoir calculer une somme d'entiers consécutifs.
♦ Savoir calculer la somme des termes d'une suite arithmétique.
♦ Savoir calculer la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique.
