vecteurs, droites et plans de l'espace.

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♦ Le cours complété :

bientôt

I. Vecteurs de l’espace.

II. Droites de l’espace.

III. Plans de l’espace.

IV. Position relative de droites et de plans dans l’espace.

V. Bases et repères de l’espace.

vecteur dans l espace

♦ Définition d'un vecteur dans l'espace.

Définition :

Un vecteur de l'espace est défini par une direction de l'espace, un sens et une norme (longueur).

Remarque :

Les vecteurs de l'espace suivent les mêmes règles qu'en géométrie dans le plan : représentants, vecteurs égaux, relation de Chasles, propriétés en rapport avec la colinéarité, …

♦ Combinaisons linéaires de vecteurs dans l'espace.

Définition :

Soit u, v et w trois vecteurs de l’espace.

Tout vecteur de la forme α u + β v + γ w, avec α , β et γ réels, est appelé combinaison linéaire des vecteurs u, v et w.

Point Méthode : Exprimer un vecteur sous la forme d'une combinaison linéaire.

Point Méthode : Calculer des probabilités lors d'une succession d'épreuves indépendantes.

droites

♦ Vecteurs colinéaires dans l'espace.

Définition :

Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires lorsqu’ils ont même direction

u et v sont colinéaires ⇔

il existe un nombre réel k tel que v = k u.

♦ Définition d'une droite dans l'espace.

Définition : Soit (d) une droite

On appelle vecteur directeur de (d) tout vecteur non nul qui possède la même direction que la droite (d).

Propriété :

Soit A un point de l’espace et u un vecteur non nul de l’espace. La droite (d) passant par A et de vecteur directeur u est l’ensemble des points M tels que les vecteurs AM et u sont colinéaires.

Remarque :

Propriété :

Deux droites de l'espace de vecteurs directeurs respectifs u et v sont parallèles si et seulement si les vecteurs u et v sont colinéaires.

Plans

Définition : Soit un point A et deux vecteurs de l'espace u et v non colinéaires.

L'ensemble (P) des points M de l'espace tels que AM = α u + β v, avec α∈ ? et αβ∈ ? est est un plan.

On dit que u et v sont des vecteurs directeurs de (P).

Définition :

Soit un point A et deux vecteurs de l'espace u et v non colinéaires.

On dit que u et v sont des vecteurs directeurs de (P).

Remarque :

♦ Soit A et B deux points, il y a une infinité de plans qui passent par A et B.

♦ Un plan est entièrement déterminé par trois points non alignés.

vecteurs coplanaires

Définition :

Des vecteurs sont dits coplanaires s'ils admettent des représentants dans un même plan.

Remarque :

Deux vecteurs sont toujours coplanaires.

Propriété :

Trois vecteurs u, v et w de l’espace sont coplanaires, s’il existe un couple de réels (x ; y) tel que w = x u + y v.

(l’un est une combinaison linéaire des deux autres.)

Point Méthode : Démontrer que trois vecteurs sont coplanaires

positions relatives

♦ positions relatives de deux droites.

Propriété :

Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires.

Elles sont coplanaires si et seulement si elles sont parallèles ou sécantes.

♦ positions relatives d'une droite et d'un plan.

Propriété :

Une droite est parallèle à un plan lorsqu’elle admet un vecteur directeur colinéaire à un vecteur directeur du plan.

Si une droite n’est pas parallèle à un plan alors elle admet un unique point d’intersection avec ce plan.

♦ positions relatives de deux plans.

Propriété :

Deux plans sont parallèles lorsqu’ils admettent un même couple de vecteurs directeurs non colinéaires.

Deux plans non parallèles sont sécants leur intersection est une droite.

Propriété :

Lorsque deux plans sont parallèles tout plan coupant l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles

bases de l'espace

Propriété : Soit i, j et k trois vecteurs non coplanaires.

Pour tout vecteur u, il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que u = x i + y j + z k

Définition: :

On appelle base de l'espace un triplet de vecteurs ( i , j ; k ) non coplanaires.

Pour tout vecteur u, l'unique triplet (x ; y ; z) tel que u = x i + y j + z k

constitue les coordonnées du vecteur u dans la base ( i , j ; k ).

Point Méthode : Démontrer que trois vecteurs sont coplanaires

reperes

Définition :

Un point O et trois vecteurs non coplanaires forment un repère de l'espace.

On le note ( O ; i ; j ; k )

Définition :

Pour tout point A de l'espace, le triplet ( x ; y ; z ) tel que OA = x i + y j + z k est appelé coordonnées de A dans le repère ( O ; i ; j ; k ).

On le note A ( xA ; yA ; zA )

Point Méthode : Déterminer les coordonnées d'un point dans un repère de l'espace.

Propriété : Soit (O ; i ; j ; k) un repère de l'espace et deux points A ( xA ; yA ; zA ) et B ( xB ; yB ; zB )

♦ AB ( xB - xA ; yB-yA ;zB-zA )

♦ Si M est le milieu de [ AB ] alors xM= ( xA + xB ) / 2 yM= ( yA + yB ) / 2 zM= ( zA + zB ) / 2

Point Méthode : Déterminer les coordonnées d'un point dans un repère de l'espace niveau 2

applications

Point Méthode : Démontrer que des vecteurs sont colinéaires

Point Méthode : Démontrer que des points sont coplanaires

Savoir-faire

Les savoir-faire du Chapitre :

Vecteurs, droites et plan dans l'espace.

♦ Savoir représenter une combinaison linéaire de vecteurs dans l'espace.

♦ Savoir exprimer une combinaison linéaire de vecteurs dans l'espace.

♦ Comprendre la définition vectorielle d'une droite.

♦ Savoir déterminer si deux droites sont coplanaires ou non.

♦ Savoir démontrer que 4 points sont coplanaires.

♦ Savoir déterminer la position relative d'une droite et d'un plan.

♦ Savoir déterminer la position relative de deux plans.

♦ Savoir démontrer que deux plans sont parallèles.

♦ Savoir reconnaître une base de l'espace.

♦ Savoir décomposer un vecteur dans une base.

♦ Savoir lire des coordonnées dans l'espace.

♦ Savoir calculer les coordonnées d'un vecteur dans l'espace.