fonction 3°
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Fonctions. |
I. Dépendance de deux grandeurs.
II. Notion de fonction.
III. Utiliser un tableau de valeurs.
IV. Fonctions définies par une expression.
♦ Calculer l'image d'un nombre.
♦ Calculer les antécédents d'un nombre.
V. Fonction définie par une courbe.
♦ Déterminer graphiquement l'image d'un nombre.
♦ Déterminer graphiquement les antécédents d'un nombre.
VI. Courbe représentative d'une fonction.
♦ Définition.
♦ Construire la courbe d'une fonction.
♦ Traceur de courbe.
M. Martin veut aménager un enclos rectangulaire pour son chien Snoopy. Il dispose de $21$ mètres de grillage pour faire trois côtés de l'enclos, le quatrième côté sera le mur du jardin. Mr Martin place un premier piquet en $A$ se demande où placer le piquet $B$ pour que l'aire de l'enclos soit la plus grande possible.
En notant la distance $AB=x$, exprime l'aire de l'enclos en fonction de $x$.
Déduis en l'aire de l'enclos lorsque $x=6,25 \,m$.
En utilisant l'expression de l'aire de l'enclos en fonction de la distance $AB$, M. Martin a construit un tableau de valeurs de la fonction. Complète la valeur manquante.
En utilisant un traceur de courbe, M. Martin a représenté l'aire de l'enclos en fonction de la distance $AB$. Utilise la courbe pour déterminer pour quelle valeur l'aire de l'enclos est maximale.
Dépendance entre 2 grandeurs
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Définition :
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Une variable mathématique désigne une valeur arbitraire, pas totalement précisée, ou même inconnue - appartenant à un ensemble. Les valeurs de la variable varie durant l’exercice. Comme ces valeurs ne sont pas fixes, on note la variable par une lettre.
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Définition :
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Lorsqu’une relation associe deux quantités, on dit que l’on peut exprimer une quantité en fonction de l’autre. En général, on peut alors établir une formule qui lie ces deux quantités.
Pour exprimer que la quantité $q$ est en fonction de la quantité $x$, on note $q(x)$.
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Méthode :
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Exprimer un périmètre ou une aire en fonction d'une longueur. |
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Méthode :
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Traduire une situation par une expression. |
Notion de fonction
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Définition :
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Une fonction est un procédé qui, à un nombre donné $x$, fait correspondre un unique nombre, appelé image de $x$.
Par une fonction $f$, l'image d'un nombre $x$ est notée $f(x)$.
on écrit $f : x \mapsto f(x)$ et on lit $f$ est la fonction qui à $x$ associe le nombre $f(x)$.
Remarque : On peut définir une fonction par :
♦ Un tableau de valeurs ♦ Une expression littérale ♦ Un programme de calcul ♦ Une courbe
Attention : Ne pas confondre :
♦ $f$ qui est le nom de la fonction ( le nom de la machine )
♦ $f(x)$ qui est un nombre ( c'est l'image du nombre $x$ par la fonction $f$ )
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Définition :
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Soit $f$ une fonction et $a$ et $b$ deux nombres.
Lorsque $f(a)=b$, on dit que $b$ est l’image de $a$ par la fonction $f$, et que $a$ est un antécédent de $b$ par la fonction $f$.
Remarque :
♦ Par une fonction, un nombre a une unique image.
♦ Par une fonction, un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents.
tableau
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Méthode :
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Déterminer une image ou un antécédent dans un tableau de valeurs. |
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Méthode :
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Déterminer une image ou un antécédent dans un tableau de valeurs. |
expression
Lorsqu'une fonction est définie par son expression, on peut calculer les images et les antécédents.
♦ Calculer l'image d'un nombre par une fonction.
Pour calculer l'image d'un nombre $a$ par une fonction $f$ dont on connait l'expression, il suffit de calculer $f(a)$.
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Méthode :
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Calculer l'image d'un nombre par une fonction. |
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Outil :
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Calculateur d'image . |
♦ Calculer les antécédents d'un nombre par une fonction.
Pour déterminer les antécédents d'un nombre $b$ par un fonction $f $ dont on connait l'expression, il suffit de résoudre l'équation $(E) : f(x)=b$.
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Méthode :
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Calculer les antécédents d'un nombre par une fonction. |
im_ant
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Méthode :
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Compléter un tableau de valeurs. |
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Méthode :
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Calculer des images et des antécédents. |
Fonctions définies par une courbe.
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Définition :
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On peut définir une fonction par une courbe.
L'image d'un nombre $x$ est l'ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse $x$.
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Méthode :
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Déterminer graphiquement l'image d'un nombre. |
Construire la courbe représentative d'une fonction
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Définition :
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Représenter graphiquement une fonction signifie construire sa courbe représentative.
Remarques :
♦ Pour pouvoir construire exactement la courbe d'une fonction il faudrait placer tous les points, ce qui n'est pas possible.....
♦ On relie les points placés en sachant que ce n'est pas la représentation exacte, lorsqu'on a un doute sur la façon de relier deux points on peut toujours calculer les coordonnées d'un point intermédiaire.
♦ Pour avoir la représentation exacte d'une fonction, on peut utiliser un traceur de courbe.
Traceur de courbe
sf
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Les savoir-faire du Chapitre : Fonctions. |
♦ Savoir utiliser le vocabulaire des fonctions.
♦ Savoir calculer l'image d'un nombre par un programme de calcul.
♦ Savoir déterminer une image ou un antécédent dans un tableau de valeurs.
♦ Savoir calculer l'image d'un nombre par une fonction dont on connait l'expression.
♦ Savoir calculer les antécédents d'un nombre par une fonction.
♦ Savoir compléter un tableau de valeurs.
♦ Savoir calculer des images et des antécédents, exercice bilan.
♦ Savoir déterminer graphiquement l'image d'un nombre par une fonction.
♦ Savoir déterminer graphiquement les antécédents d'un nombre.
♦ Savoir déterminer si un point appartient ou non à la courbe représentative d'une fonction.
♦ Savoir placer des points de la courbe représentative d'une fontion.
♦ Utiliser un traceur de courbe.
♦ Savoir résoudre un problème avec une fonction.