transformations
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Transformations. |
I . Les transformations du plan ( Rappels ).
♦ La symétrie axiale.
♦ La symétrie centrale.
♦ La translation.
II. La rotation.
III. L'homothétie.
♦ Homothétie de rapport positif.
♦ Homothétie de rapport négatif.
IV. Frises et pavages.
♦ Compléter une frise.
♦ Compléter un pavage.
♦ Compléter une rosace.
trans
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Définition :
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Une transformation du plan transforme un point $A$ en un point $A'$ appelé image de $A$ par la transformation.
sym ax
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Définition :
L'image d'un point $A$ par la symétrie axiale d'axe $(d)$ est le point $A'$ tel que : ♦ Si $A ∈ (d)$ , alors $A$ et $A'$ sont confondus. ♦ Si $A ∉ (d)$ , alors $(d)$ est la médiatrice du segment $[AA´]$. |
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Propriétés :
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La symétrie axiale conserve : |
♦ L'alignement ( les symétriques de trois points alignés sont aussi alignés. )
♦ Les distances ( la distance entre deux points est la même que celle entre leur symétrique ).
♦ Les mesures d'angles ( le symétrique d'un angle est un angle de même mesure ).
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Conséquences :
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Par une symétrie axiale : |
♦ L'image d’un segment est un segment de même longueur.
♦ L'image d’une droite est une droite.
♦ L'image d’un cercle est un cercle de même rayon.
♦ L'image d’un polygone est un polygone de même forme et de mêmes dimensions.
sym cent
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Définition :
L'image d'un point $A$ par la symétrie centrale de centre $O$ est le point $A'$ tel que : ♦ L'image de $O$ est lui-même ♦ Si $A$ est différent de $O$ , alors $O$ est le milieu du segment $[AA´]$. |
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Propriétés :
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La symétrie centrale conserve : |
♦ L'alignement ( les symétriques de trois points alignés sont aussi alignés. )
♦ Les distances ( la distance entre deux points est la même que celle entre leur symétrique ).
♦ Les mesures d'angles ( le symétrique d'un angle est un angle de même mesure ).
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Conséquences :
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Par une symétrie centrale : |
♦ L'image d’un segment est un segment de même longueur.
♦ L'image d’une droite est une droite qui lui est parallèle.
♦ L'image d’un cercle est un cercle de même rayon.
♦ L'image d’un polygone est un polygone de même forme et de mêmes dimensions.
translation
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Définition :
Soit $B$ et $C$ deux points. Par la translation qui transforme $B$ en $C$, l'image d'un point $A$ est le point $A′$ tel que : $ABCA′$ soit un parallélogramme. |
Remarque :
Transformer une figure par la translation qui transforme $B$ en $C$, c'est la faire glisser sans la tourner.
Le glissement est défini par : une direction , un sens et une longueur.
Sur une figure on peut représenter le glissement par une flèche.
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Propriétés :
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♦ Une figure et son image par une translation sont superposables.
♦ La translation conserve : les alignements, les angles, les longueurs et les aires.
rotatio
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Définition :
La rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$ transforme le point $A$ en un point $A'$ tel que : ♦ $OA = OA'$. ♦ $\widehat {AOA'} = \theta$ |
Remarques :
♦ Une rotation d’angle 180° est une symétrie centrale.
♦ Le centre de la rotation est invariant par la rotation ( son image est lui-même ).
♦ Transformer une figure par la rotation , c’est faire tourner la figure autour d’un centre selon un angle donné et dans un sens donné.
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Propriété :
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La rotation conserve : les alignements, les angles, les longueurs et les aires.
hom 1
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Définition :
L'homothétie de centre $O$ et de rapport $k>0$ transforme le point $A$ en un point $A'$ tel que : ♦ Les points $O$ , $A$ et $A'$ sont alignés. ♦ $A$ et $A'$ sont du même côté de $O$. ♦ $OA'= k×OA$ |
Remarques :
♦ L'image d'une figure par une homothétie de rapport $k > 1$ est un agrandissement de la figure de départ.
♦ L'image d'une figure par une homothétie de rapport $0 < k < 1$ est une réduction de la figure de départ.
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Propriétés :
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♦ Une figure et son image par une homothétie ont la même forme, l'homothétie conserve : les alignements et les angles.
♦ Par une homothétie de rapport $k>0$, les longueurs sont multipliées par $k$ et les aires par $k^2$.
hom 2
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Définition :
L'homothétie de centre $O$ et de rapport $k<0$ transforme le point $A$ en un point $A'$ tel que : ♦ Les points $A$ , $O$ et $A'$ sont alignés, dans cet ordre. ♦ $OA'= -k×OA$ |
Remarque :
L'image d'une figure par une homothétie de rapport $k < 0$ est un agrandissement ou une réduction de la figure de départ qui a effectué un demi-tour autour du centre de l'homothétie.
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Propriétés :
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♦ Par une homothétie de rapport $k<0$, les longueurs sont multipliées par $-k$ et les aires par $k^2$.
frise
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Définition :
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Une frise est constituée d'un motif qui est reproduit dans une seule direction par translation.
♦ Compléter une frise niveau 1.
♦ Compléter une frise niveau 2.
pavages
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Définition :
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Un pavage est un recouvrement sans trou ni superposition du plan constitué d'un motif qui se reproduit par une symétrie ou une rotation puis par une même translation.
caire
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Dans l'art musulman, les pavages sont très répandus. En marchant dans les rues du Caire, en Egypte, on peut rencontrer le pavage ci-contre, constitué de pentagones irréguliers. |
escher 1
escher 2
escher 3
rosace
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Définition :
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Une rosace est constituée d'un motif qui est reproduit plusieurs fois par une même rotation.
sf
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Les savoir-faire du Chapitre : Transformations du plan. |
♦ Savoir construire l'image d'un point par une translation, une rotation ou une homothétie.
♦ Savoir construire l'image d'une figure par une translation, une rotation ou une homothétie.
♦ Savoir reconnaître une tranformation.
♦ Savoir utiliser les propriétés des transformations pour déterminer des grandeurs.
♦ Savoir identifier une transformations dans une frise ou un pavage.
♦ Savoir construire une frise.
♦ Savoir construire un pavage.
♦ Savoir construire une rosace.
