Comprendre l'étude de la fonction ln

♦ Dérivabilité.

  Propriété  :

Démonstration exigible.

La fonction logarithme népérien est dérivable sur $]0 ; +∞[$ et pour tout $x>0$    $(\,ln (x) \,) ' = \dfrac{1}{x}$  .

♦ Sens de variation , convexité et signes.

  Propriétés :
  

♦ La fonction logarithme népérien est $croissante$ sur $]0 ; +∞[$

conséquence : Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs, on a : $ln(x) < ln (y) ⟺ x < y$

♦ La fonction logarithme népérien est $concave$ sur $]0 ; +∞[$

♦ Limites et tableau de variations

  Propriété :
    

On admet que :         ♦ $\lim\limits_{ \begin{array}{} x \to 0\\ x>0  \end{array}  } \;ln(x)=-\infty$                         ♦ $\lim\limits_{  x \to +\infty  } \;ln(x)=+\infty$

 

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