Raisonnement par récurrence_test.
Activité d'introduction
Soit la suite (un) définie par son terme initial u0 =\frac{1}{2}$
et par la relation de r´ecurrence : $u_n+1 =\frac{3}{1+u_n}$
- Calculer $u_1$ et $u_2$.
- Soit $f : x ?\frac{3}{1+x}$. On admet que $f$ est décroissante sur $] − 1;+∞[$.
La courbe de $f$ ainsi que la droite d’´equation $y = x$ sont représentées ci-dessous.
A l’aide de ce graphique, construire sur l’axe des abscisses les six premiers termes de la suite.
3. Que remarquez-vous ? Etablir une conjecture sur un encadrement éventuel de tous les termes de
la suite.
Le raisonnement par récurence
Principe : On considère une file illimitée de dominos placés côte à côte. La règle veut que lorsqu'un domino tombe, alors il fait tomber le domino suivant et ceci à n'importe quel niveau de la file. Alors, si le premier domino tombe, on est assuré que tous les dominos de la file tombent.
Définition
Dans l'exemple, si on suppose qu'un domino $k$ tombe alors le domino suivant $k+1$ tombe également.
Principe du raisonnement par récurrence.
$◊$ Vraie au rang $n_0$ (Initialisation). $◊$ Héréditaire à partir du rang $n_0$ (Hérédité)
alors la propriété $P$ est vraie pour tout entier $n ≥ n_0$.
Dans l'exemple, le premier domino tombe (initialisation). Ici $n_0 = 1$.L'hérédité est vérifiée (voir plus haut).On en déduit que tous les dominos tombent.
Remarque : L'initialisation est indispensable.
En effet, démontrons par exemple que la propriété "$2^n$ est divisible par $3$" est héréditaire sans vérifier l'initialisation. Supposons qu'il existe un entier $k$ tel que $2^k$ soit divisible par $3$. alors $2^{k+1} = 2^k × 2 = 3p×2= 6p$, où $p$ est un entier (d'après l'hypothèse de récurrence).
Donc $2^{k+1}$ est divisible par $3$. L'hérédité est vérifiée et pourtant la propriété n'est jamais vraie.....
On considère la suite $(un)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = u_n + 2n + 3$ et $u_0 = 1$.
Démontrer par récurrence que : $u_n = ( n + 1 )^2$.