Rappels sur les vecteurs.
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I. Notion de vecteur
II. Opérations sur les vecteurs
III. Vecteurs colinéaires.
IV. Repère du plan, coordonnées.
V condition analytique de colinéarité
définition
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Définition : Un vecteur u est défini par : ♦ Une direction. ♦ Un sens. ♦ Une norme notée ||u||.
Définition : Deux vecteurs sont égaux s'ils ont : ♦ La même direction. ♦ Le même sens. ♦ La même norme.. |
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Définition : Deux vecteurs u et v sont opposés lorsque : ♦ Ils ont la même direction. ♦ Ils sont de sens contraire. ♦ Ils ont la même norme. On le note : u = -v Remarque : BA est l'opposé de AB : BA = - AB |
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Définition : Soit A et B deux points tels que AB=u On dit que AB est un représentant du vecteur u. Remarque : Un vecteur u a une infinité de représentants. Propriété : Soit A un point et u un vecteur, alors il existe un unique point B tel que AB soit un représentant de u. |
Opérations
♦ Addition dans le monde des vecteurs.
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Propriété ( relation de Mr Chasles ) : Soit A,B et C trois points, alors AB + BC = AC Convention : Soit A un point du plan. Le vecteur AA est appelé le vecteur nul et on le note 0.
Remarque : Attention le vecteur nul n'a pas de direction, ce n'est un vecteur que par convention. |
Propriété : Pour tous vecteurs u v et w.
♦ u + 0 = 0 + u = 0
♦ u + v = v + u ,l'addition dans le monde des vecteurs est commutative.
♦ u + ( v + w ) = ( v + u ) + w , l'addition dans le monde des vecteurs est associative.
♦ Soustraction dans le monde des vecteurs.
Définition : Soit u et v deux vecteurs.
On définie la différence des vecteurs u et v par : u - v = u + ( -v )
♦ Multiplication d'un vecteur par un nombre.
Définition : Soit u un vecteur et k un nombre réel.
Le produit du vecteur u par le nombre k est le vecteur v tel que :
♦ Les vecteurs u et v ont la même direction.
♦ Les vecteurs u et v ont : ♦ Le même sens si k > 0 ♦ des sens contraires si k < 0.
♦ La norme de v est égale à |k| fois la norme de u.
♦ Construire un représentant d'une égalité vectorielle.
Point Méthode :
Coordonnées d'un vecteur
♦ Coordonnées d'un vecteur dans un repère du plan.
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Définition : Soit ( O ; i ; j ) un repère dire que u a pour coordonnées ( xu ; yu ) dans le repère ( O ; i ; j ) signifie que : u = xu i + yu j.
Propriété : Soit ( O ; i ; j ) un repère et A ( xA ; yA ) et B ( xB ; yB ) deux points. Le vecteur AB a pour coordonnées : AB ( xA - xB ; yA - xB )
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Propriété : soit u ( xu ; yu ) et v ( xv ; yv ) deux vecteurs et k un nombre réel.
♦ u = v ⇔ xu = xv et yu = yv
♦ k u a pour coordonnées ( k xu ; k yu ).
♦ u + v a pour coordonnées ( xu + uv ; yu + yv ).
Point Méthode : Déterminer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielle.
♦ Norme d'un vecteur dans un repère orthonormé du plan.
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Propriété : Soit ( O ; i ; j ) un repère orthonormé u ( xu ; yu ) un vecteur, alors ||u|| = √ ( xu 2+ yu 2 )
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Colinéarité
Définition : On dit que deux vecteurs u et v sont colinéaires lorsqu'il ont la même direction.
Propriété : Soit u et v deux vecteurs.
♦ u et v sont colinéaires. ⇔ ♦ Il existe un nombre k tel que u = k . v
♦ Déterminant de deux vecteurs.
Définition : Soit ( O ; i ; j ) un repère, u ( xu ; yu ) et v ( xv ; yv ) deux vecteurs.
On appelle déterminant de u et de v le nombre det ( u , v ) = xu yv - xv yu
Point Méthode : Calculer le déterminant de deux vecteurs.
♦ Condition analytique de colinéarité.
Propriété :
Soient u et v deux vecteurs alors les affirmations suivantes sont équivalentes :
♦ u et v sont colinéaires ♦ det ( u , v ) = 0
Point Méthode : Déterminer si des vecteurs sont colinéaires.
Les savoir-faire du chapitre.
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Les savoir-faire du Chapitre : Rappels sur les vecteurs. |
♦ Savoir exprimer un vecteur en fonction de 2 vecteurs non colinéaires.
♦ Savoir déterminer les coordonnées d'un vecteur dans une base.
♦ Savoir déterminer les coordonnées d'un vecteur par lecture graphique.
♦ Savoir représenter un vecteur dont on connait les coordonnées.
♦ Savoir déterminer les coordonnées d'un vecteur par le calcul.
♦ Savoir déterminer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielle.
♦ Savoir déterminer les coordonnées d'une somme de vecteurs.
♦ Savoir déterminer les coordonnées d'un produit de vecteur par un nombre réel.
♦ Savoir calculer le déterminant de deux vecteurs.
♦ Savoir déterminer si deux vecteurs sont colinéaires ou non.
♦ Savoir démontrer si deux droites sont parallèles ou non.
♦ Savoir démontrer si trois points sont alignés ou non.
♦ Savoir calculer la norme d'un vecteur dans un repère orthonormé.