équations 3°

I. Tester un nombre.

II. Égalités et opérations.

III. Vocabulaire des équations.

IV. Transformer une équation.

V. Résoudre une équation du premier degré.

♦ Équations du type : $(E) :ax=b$

♦ Équations du type : $(E) :ax+b=c$

♦ Équations du $1^{er}$ degré : cas général.

VI. Résoudre une équation du type $(E):x^2=a$.

VII. Résoudre une équation du type produit nul.

VIII. Résoudre un problème avec une équation.

Définition : 

♦ Une égalité est constituée de deux membres séparés par le signe « $=$ ».

♦ On dit qu'une égalité est vraie lorsque les deux membres ont la même valeur.

Point Méthode : Déterminer si une égalité est vraie ou fausse.

Propriété  : Une égalité reste vraie si on ajoute un même nombre aux deux membres.

Traduction en langage mathématique :  Pour tout nombre c , si a = b , alors a + c = b +c 

Propriété  : Une égalité reste vraie si on multiple ou on divise les deux membres par un même nombre non nul.

Traduction en langage mathématique :  Pour tout nombre c non nul  , si a = b , alors a × c = b × c 

Définition :

Une équation (E) est une proposition contenant deux membres, séparés par un =, dont l'un des membres au moins comporte une valeur inconnue.

Cette valeur inconnue se nomme l'inconnue, et se note généralement  $x$.

Définition : 

Un nombre $a$ est appelée solution d'une équation lorsqu'en remplaçant l'inconnue de l'équation par cette valeur $a$, on obtient une égalité, c'est à dire que les deux membres sont égaux.

Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.

Point Méthode : Déterminer si un nombre est solution d'une équation ou non.

Définition : 

Certaines opérations permettent de transformer une équation sans changer ses solutions.

On dit alors que l'équation obtenue est équivalente à la première.   On le note avec le symbole ⇔

Propriété : 

On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une équation sans changer ses solutions.

Propriété : 

On peut multiplier par un même nombre les deux membres d'une équation sans changer ses solutions.

Propriété : 

On peut diviser par un même nombre non nul les deux membres d'une équation sans changer ses solutions.

Propriété : Pour tout nombre a non nul,  l'équation (E) : ax = b a une unique solution qui est b/a.

On le note S(E)= { b/a }

Propriété : 

Toute équation du premier degré est équivalente à une équation de la forme (E) : ax = b  ( avec a non nul ).

Point Méthode : Résoudre une équation du premier degré.

Propriété :  Soit a un nombre réel et (E) : x² = a.

♦ Si a < 0, l' équation (E) n'a pas de solution ( un carré de nombre réel est positif ).

♦ Si a = 0, l' équation (E) a une unique solution qui est 0.    

♦ Si a > 0, l' équation (E) a deux solutions qui sont -√a et √a.    

Point Méthode : Résoudre une équation du type (E) : x² = a . niveau 1.

Outil : Solveur d'équations du type (E) : x²=a

Point Méthode : Résoudre une équation du type (E) : x² = a . niveau 2.

Propriété ( phrase magique ): 

Un produit est nul si et seulement si un , au moins , des facteurs est nul.

Traduction en langage mathématique :  Pour tous nombres a et b ,  a × b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0.

Remarque :

Cette propriété est magique car elle permet de transformer une équation de degré 2 en deux équations du premier degré.

Point Méthode : Résoudre une équation du type produit nul

♦ Savoir tester si un nombre vérifie une égalité.

♦ Savoir tester une égalité pour résoudre un problème. 

♦ Comprendre les égalités et opérations.

♦ Savoir vérifier si un nombre est solution d'une équation.

♦ Savoir transformer une équation

♦ Savoir résoudre une équation du premier degré du type (E) : ax=b.

♦ Savoir résoudre une équation du premier degré du type (E) : ax+b=c.

♦ Savoir résoudre une équation du premier degré cas général.              

♦ Savoir résoudre un problème avec une équation.