Exercices sur la récurrence.
Exercice 1
Prouver que pour tout entier n>0, 4n + 5 est un multiple de 3.
Exercice 2
Prouver que pour tout entier n, 32n −1 est un multiple de 8.
Exercice 3
Est-il vrai que pour tout entier n > 1, n3 + 2n est un multiple de 3?
Exercice 4
Prouver que pour tout nombre n>1, 12 + 22 + 32 +···+ n2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6.
Exercice 5
On pose : Sn = 13 + 23 + 33 +···+ n3 où n > 1
a) Calculer S1, S2, S3 et S4. Exprimer Sn+1 en fonction de Sn.
b) Démontrer par récurrence que pour tout naturel n > 1 : Sn = n2(n + 1)2 / 4
Exercice 6
On note n! = n×(n−1)×(n−2)×···×2×1 où n > 1
Démontrer, par récurrence que pour tout naturel n non nul : n! > 2n−1
Exercice 7
La suite (un) est la suite dé?nie par : u0 ∈]0;1[ et un+1 = un(2−un).
Démontrer par récurrence que : ∀n ∈ N, 0 < un < 1
Remarque : On pourra étudier les variations de la fonction f dé?nie par : f(x) = x(2−x)
Exercice 8
La suite (un) est dé?nie par : u0 = 1 et un+1 = √(2 + un).
Démontrer par récurrence que pour tout naturel n, 0 < un < 2 et que (un) est croissante