Probabilités conditionnelles.
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I. Probabilités conditionnelles
II. Loi des probabilités totales
III. Évènements indépendant
IV. Succession d'épreuves indépendantes
intro
Probabilités conditionnelles.
Définition : Soient A et B deux évènements, tels que p(A) ≠ 0
On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A, la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est réalisé.
On la note p A (B) et est définie par p A (B) = p(A∩B) / p(A)
Définition : Soient A et B deux évènements, avec p(A) ≠ 0
♦ 0 ≤ pA(B) ≤ 1 ♦ pA(B) = 1 - pA(B) ♦ p(A∩B) = p(A) × p A (B)
arbres prondérés
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Définition : On peut shématiser une expérience aléatoire par un arbre pondéré. ♦ On écrit les probabilités sur les branches. ♦ Les branches issues d'un nœud correspondent à des probabilités conditionnelles. ♦ La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1. ♦ La probabilité d'une "feuille" (extrémité d'un chemin) est égale au produit des probabilités du chemin aboutissant à cette feuille. |
Point Méthode :
proba totales
Définition : Soient A1 A2 A3 .... An , n évènements de probabilité non nulle.
Dire que ces évènements constituent une partition de l'univers Ω signifie :
♦ Les évènements sont deux à deux disjoints. ♦ Leur réunion forme Ω
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Propriété ( Loi des probabilités totales ) : Soient A1 A2 A3 .... An, une partition de l'univers Ω alors pour tout évènement B, p(B) = p (B ∩ A1 ) + p (B ∩ A2 )+....+p (B ∩ An ). En particulier , pour tout évènement A, p(B)= p (B ∩ A ) + p (B ∩ \bar{A}) |
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Remarque :
On peut appliquer la loi des probabibilités totales dans un arbre pondéré.
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exo bilan
Point Méthode :
independance
Définition : Soient A et B , 2 évènements de probabilité non nulle.
On dit que A et B sont indépendants lorsque p(A∩B) = p (A) × p( B )
Propriété :
A et B sont indépendants ⇔ p A (B) = p(B) ou p B (A) = p(A)
succession
Définition : Lorsque deux expériences aléatoires se succèdent et que les résultats de la première expérience n’ont aucune influence sur les résultats de la seconde, on dit qu’il s’agit d’une succession de deux épreuves indépendantes.
..
Définition : Plusieurs expériences sont identiques et indépendantes si :
♦ Elles ont les mêmes issues.
♦ Chaque issue possède la même probabilité dans chaque expérience.
Répetition d'epreuves a deux issues
Définition : On considère une expérience aléatoire à deux issues A et B avec les probabilités P(A) et P(B).
Si on répète l'expérience deux fois de suite :
♦ la probabilité d'obtenir l'issue A suivie de l'issue B est égale à P(A) x P(B),
♦ la probabilité d'obtenir l'issue B suivie de l'issue A est égale à P(B) x P(A),
♦ la probabilité d'obtenir deux fois l'issue A est égale à P(A)2,
♦ la probabilité d'obtenir deux fois l'issue B est égale à P(B)2.
Les savoir-faire du chapitre.
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Les savoir-faire du Chapitre : Probabilités conditionnelles. |
♦ Savoir calculer des probabilités conditionnelles.
♦ Savoir lire des probabilités conditionnelles sur un arbre.
♦ Savoir compléter un arbre de probabilités conditionnelles.
♦ Savoir appliquer la loi des probabilités totales.
♦ Savoir résoudre un exercice bilan sur les probabilités conditionnelles.
♦ Savoir utiliser l'indépendance de 2 évènements.
♦ Savoir représenter des tirages successifs par un arbre.
♦ Savoir calculer une probabilités sur une répétition d'expérience.