produit scalaire dans l'espace.
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I. Produit scalaire dans l’espace.
II. Produit scalaire dans un repère orthormé.
II. Orthogonalité dans l’espace.
III. Vecteur normal à un plan.
IV. Projection orthogonale dans l’espace.
Produit scalaire dans l espace
♦ Définition.
Soit u et v deux vecteurs de l'espace. Soit A, B et C tels que u = AB et v = AC.
Il existe un plan (P) contenant A,B et C
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Définition : Le produit scalaire des vecteurs u et v, noté u.v, est le réel AB.AC calculé dans le plan (P). ♦ u. v = 0 si u ou v est un vecteur nul, ♦ u. v = ?u? × ?u? × cos(u ; v)
Remarque :
u.v ne dépend pas des représentants AB et AC choisis. |
♦ Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires.
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Soit u et v deux vecteurs de l'espace colinéaires. A, B et C tels que u = AB et v = AC.
Point Méthode : ♦ Si u et v sont de meme sens : u . v = AB.AC = AB × AC ♦ Si u et v sont de sens contraire : u . v = AB.AC = - AB × AC |
♦ Propriétés du produit scalaire dans l'espace.
Les propriétés dans le plan sont conservées dans l'espace.
orthogonanlité
Propriété : Soit u et v deux vecteurs de l'espace
u. v = 0 ? u et v sont orthogonaux (ou u = 0 et v = 0)
♦ Déterminer un produit scalaire en utilisant le projeté orthogonal.
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Soit u et v deux vecteurs de l'espace. A, B et C tels que u = AB et v = AC.
Point Méthode : Soit H le projeté orthogonal de C sur ( AB ) alors : u . v = AB.AC = AB.AH |
♦ Calculer un produit scalaire en décomposant les vecteurs.
Point Méthode : Calculer un produit scalaire en décomposant les vecteurs.
base orthonormée
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Définition : On dit qu'un repère de l' espace ( O ; i ; j ; k ) est orthonormé lorsque : ♦ Les vecteurs i , j et k sont deux à deux orthogonaux. ♦ Les vecteurs i , j et k sont unitaires, soit : ? i ? = 1, ? j ? = 1 et ? k ? =1 |
Propriété : Soit ( O ; i ; j ; k ) un repère orthonormé u ( x ; y ; z ) et v (x' ; y' ; z' ) deux vecteurs alors :
u.v = x x' + y x'+ z z'
Point Méthode : Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormé.
applications
♦ Orthogonalité de deux vecteurs
Point Méthode : Déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux ou non.
♦ Calcul de distance.
Propriété : Dans un repère orthonormé , soit u ( x , y , z ) un vecteur et A ( xA ; yA ; zA) et B ( xB ; yB ; zB ) deux points.
♦ || u || = √ x2 + y2 + z2
♦ AB = √ (xB -xA ) 2 + (yB - yA)2 + (zB - ZA)2
Point Méthode : Calculer une distance dans un repère orthonormé.
♦ Calcul de mesure d'angle.
Point Méthode : Calculer la mesure d'un angle dans un repère orthonormé.
orthogonalité de deux droites dans l'espace
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Définition : Deux droites de l'espace sont orthogonales si un vecteur directeur de l’une est orthogonal à un vecteur directeur de l’autre.
Remarque :
Deux droites orthogonales ne sont pas forcément coplanaires, si elles le sont, alors elles sont perpendiculaires. |
Point Méthode : Déterminer si deux droites sont orthogonales dans un repère orthonormé.
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Propriété : Deux droites (d) et (d') sont orthogonales si et seulement si il existe une droite (?) parallèle à (d) et perpendiculaire à (d').
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Orthogonanilté d'une droite et d'un plan
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Définition : Soit (d) une droite de vecteur directeur w et (P) un plan de base ( u ; v ). On dit que (d) est orthogonale à (P) lorsque w est orthogonal à u et à v
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Propriété : ♦ Une droite (d) est orthogonale à un plan P si elle est orthogonale à deux droites sécantes de P. ♦ Si une droite (d) est orthogonale à un plan P alors elle est orthogonale à toutes les droites de P.
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Point Méthode : Calculer la mesure d'un angle dans un repère orthonormé.
vecteur normal à un plan
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Définition: Soit (P) un plan de base (u ; v). un vecteur n est normal à (P) s'il est non nul est orthogonal à u et à v
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Propriété : un vecteur non nul n est normal à un plan (P) lorsqu'il est orthogonal à tout vecteur admettant un représentant dans (P)
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Propriété : Soit A un point et n un vecteur non nul alors il existe un unique plan passant par A et ayant comme vecteur normal n .
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Point Méthode : Déterminer si un vecteur est normal à un plan.
Point Méthode : Déterminer un vecteur normal à un plan :
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Propriété : Si (P1) est un plan de vecteur normal n1 et (P2) un plan de vecteur normal n2 alors (P1) et (P2) sont perpendiculaires si n1 et n2 sont orthogonaux
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Projeté orthogonal
♦ Projeté orthogonal d'un point sur une droite.
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Définition :
Soit un point A et une droite (d) de l’espace. Le projeté orthogonal de A sur (d) est le point H appartenant à (d) tel que la droite (AH) soit perpendiculaire à la droite (d).
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♦ Projeté orthogonal d'un point sur un plan.
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Définition :
Soit un point A et un plan (P). Le projeté orthogonal de A sur (P) est le point H appartenant à (P) tel que la droite (AH) soit orthogonale au plan (P).
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Prorpriété ( démonstration exigible ) :
Soit un point A et un plan (P). Le projeté orthogonal de A sur (P) est le point de (P) le plus proche de A
Savoir-faire
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Les savoir-faire du Chapitre : Produit scalaire dans l'espace. |
♦ Savoir déterminer un produit scalaire dans l'espace.
♦ Savoir calculer un produit scalaire dans l'espace.
♦ Savoir déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux ou non.
♦ Savoir calculer la norme d'un vecteur dans l'espace.
♦ Savoir calculer la distance entre deux points dans l'espace.
♦ Savoir calculer un angle entre deux vecteurs.
♦ Savoir déterminer si deux droites sont orthogonales.
♦ Savoir démontrer que deux droites sont orthogonales.
♦ Savoir utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité.
♦ Savoir déterminer si un vecteur est normal à un plan.
♦ Savoir déterminer un vecteur normal à un plan.
♦ Savoir démontrer que deux plans sont orthogonaux.
♦ Savoir déterminer la distance entre un point et un plan.
Démonstration exigible
♦ Le projeté orthogonal d’un point M sur un plan P est le point de P le plus proche de M.