Fonctions trigonométriques.
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♦ Le cours à compléter : |  |
♦ Le cours complété : | |
I. Mesures d'angle en radian.
Le cercle trigonométrique
Mesure d'angle en radian.
II. Enroulement de la droite des réels.
Enroulement de la droite numérique.
Mesure principale d'un angle
III. Cosinus et sinus d'un nombre réel.
cosinus et sinus d'un angle.
Angles opposés, angles associés.
Équations trigonométriques.
IV. Fonctions trigonométriques.
Parité, périodicité d'une fonction.
Fonctions trigonométriques.
Le cercle trigonométrique.
♦ Le cercle trigonométrique.
Définition : Sur un cercle, on appelle sens direct, sens positif ou sens trigonométrique le sens contraire des aiguilles d’une montre.
Définition : Dans le plan muni d’un repère orthonormé et orienté dans le sens direct,
le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1.
♦ Longueur d'un arc de cercle.
Propriété : On considère un repère orthormé orienté dans le sens direct et M un point du cerle trigonométrique.
La longueur de l'arc de cercle IM est proportionnelle à la mesure de l'angle IOM.
Outil : Calculateur de longueur d'arc de cercle.
Le radian.
♦ Angle de mesure 1 radian.
Définition : La radian est une unité de mesure d’un angle.
On dit qu'un angle mesure 1 radian lorque l'arc du cercle trigonométrique intercepté par cet angle mesure 1 unité de longueur.
♦ Mesure d'angles en radian.
Définition : Le repère étant orienté, on peut définir un angle de mesure négative en radian.
Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique.
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Soit un repère orthonormé, orienté dans le sens direct et C le cercle trigonométrique. Si on enroule la droite numérique autour du cercle, on associe à chaque point A de la droite d'abscisse x un unique point M du cercle trigonométrique.
Observe les points du cercle trigonométrique correspondant aux nombres : π/2 ; 5π/2 ; 9π/2 : -3π/2 ; -7π/2.... Que peut-on remarquer ?
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Propriété :
♦ À tout nombre x sur la droite numérique correspond un unique point du cercle trigonométrique.
♦ À tout nombre point du cercle trigonométrique correspond une infinité de nombres réels.
Deux nombres qui correspondent à un même point du cercle diffèrent d'un multiple de 2π
mesure principale d'un angle
Propriété :
♦ Un angle α a une infinité de mesures en radians.
♦ Si x et y sont deux mesures du même angle alors ils vérifient une égalité de la forme x = y+2kπ avec k ∈ ?.
Définition :
On appelle mesure principale d’un angle α, la mesure de cet angle qui appartient à l’intervalle ]−π ; π].
cosinus et sinus d'un angle.
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Dans le plan muni d’un repère orthonormé et orienté dans le sens direct, on considère un cercle trigonométrique. Pour tout nombre réel α, on considère l'angle de mesure α et le point M du cercle qui lui correspond.
Définition : ♦ Le cosinus du nombre réel α est l’abscisse de M et on note cos(α). ♦ Le sinus du nombre réel α est l’ordonnée de M et on note sin(α). |
Outil : Calculateur de cosinus et de sinus d'un angle.
Propriétés : Pour tout nombre réel α, on a :
♦ -1 ≤ cos(α) ≤ 1 ♦ -1 ≤ sin(α) ≤ 1 ♦ cos2(α)+ sin2(α) = 1
♦ cos(α + 2π ) = cos(α) ♦ sin(α + 2π ) = sin(α)
♦ Valeurs particulières.
Propriétés ( démonstrations exigibles ) :
♦ cos(π/3) = √3/2 ♦ cos(π/4) = √2/2 ♦ sin(π/4) = √2/2
Angles opposés, angles associés.
♦ Angles opposés.
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Propriété : Pour tout nombre réel α ♦ cos(-α) = cos(α) ♦ sin(-α) = - sin(α) |
♦ Angles associés.
Définition :
Deux angles sont dits associés s'ils admettent des cosinus et des sinus égaux ou opposés.
Parité et périodicité d'une fonction.
♦ Fonctions paires.
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Définition : On dit qu'une fonction f est paire si : ♦ ∀ x ∈ Df , -x ∈ Df ♦ ∀ x ∈ Df , f(-x) =f(x) .
Remarque : La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. |
♦ Fonctions impaires.
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Définition : On dit qu'une fonction f est impaire si : ♦ ∀ x ∈ Df , -x ∈ Df ♦ ∀ x ∈ Df , f(-x) = - f(x) .
Remarque : La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère. |
♦ Fonctions périodiques.
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Définition : On dit qu'une fonction f définie sur R est périodique de période T si ♦ ∀ x f(x + T) = f(x) .
Remarque : On obtient la courbe représentative d'une fonction par translation d'une représentation sur un intervalle de longueur T. |
Les fonctions cos et sin
Définition : Pour tout nombre réel x, on définit les fonctions :
? cos : x ?cos (x) et ? sin : x? sin (x) .
♦ Variations des fonctions cos et sin sur [ 0 ; π ].
♦ Variations des fonctions cos et sin sur R.
Propriété : Pour tout nombre réel x,
? cos(-x) = cos (x) donc la fonction cos est paire.
? sin(-x) = - sin (x) donc la fonction sin est impaire.
Propriété : Pour tout nombre réel x,
? cos(x + 2π) = cos (x) ? sin(x + 2π) = sin (x)
Les fonctions cos et sin sont périodiques de période 2π.
Les savoir-faire du parcours
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Les savoir-faire du Chapitre : Fonctions trigonométriques. |
♦ Savoir déterminer des mesures d'angles en radian.
♦ Savoir placer un point sur le cercle trigonométrique.
♦ Savoir déterminer la mesure principale d'un angle.
♦ Savoir déterminer le cosinus et sinus d'angles particuliers.
♦ Savoir calculer le cosinus d'un angle connaissant son sinus.
♦ Savoir déterminer un cosinus ou un sinus en utilisant un angle associé.
♦ Savoir associer un angle à une valeur de cos et de sin donnée.
♦ Savoir résoudre une équation du type (E) : cos(x) = a dans [ -pi ; pi ].
♦ Savoir résoudre une équation du type (E) : sin(x) = a dans [ -pi ; pi ].
♦ Savoir résoudre une équation trigonométrique.
♦ Savoir étudier la parité d'une fonction trigonométrique.
Démonstrations exigibles
♦ Déterminer les valeurs de sin(pi/4), cos(pi/3) et sin(pi/3).
