Généralités sur les fonctions (rappels )
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I. Notion de Fonction.
II. Courbe représentative d'une fonction.
III. Variations d'une fonction.
IV. Rappels sur les fonctions de référence.
Notion de fonction
Définition : Soit D un ou plusieurs intervalles de ?.
Définir une fonction f de D dans ?, c‘est associer à chaque réel x de D un unique réel noté f(x).
On dit que y est l’image de x par la fonction f, et que x est un antécédent de y par f.
On dit que D est l’ensemble de définition de la fonction f, et on le note Df.
Remarques :
♦ On peut définir une fonction par une expression, un graphique, un algorithme .…
♦ Une fonction est généralement désignée par l’une des lettres f, g, h …
♦ Au lieu d’écrire « f est la fonction qui à x associe f (x) », on peut écrire « f : x a f (x) ».
♦ Par une fonction, un réel x ne peut avoir qu’une seule image, mais un réel y peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents.
Lorsqu'une fonction est définie par une expression, on peut calculer les images et les antécédents.
Soit f une fonction, Df son ensemble de définition , a appartenant à Df et b un nombre réel.
♦ Pour calculer l'image du nombre a par f , il suffit de calculer f(a).
♦ Les antécédents d'un nombres b par f sont les solutions de l'équation (E) : f(x)=b qui appartiennent à Df.
Point Méthode :
Courbe représentative de fonction
Définition : Soit f une fonction, Df son ensemble de définition.
La courbe représentative de la fonction f est l’ensemble Cf des points M( x ; f(x) ) avec x ∈ Df.
( Cf est l'ensemble des points dont l'ordonnée est l'image de leur abscisse par f ).
On dit que y = f (x) est l’équation de la courbe Cf.
Point Méthode :
lecture graphique d'images et d'antécédents.
Lorsqu'on dispose de la représentation graphique d'une fonction, on peut l'utiliser pour déterminer graphiquement des images et des antécédents.
Chaque point Cf à son ordonnée qui est l'image de son abscisse par f.
Point Méthode :
L'image d'un nombre a appartenant à Df est l'ordonnée du point de Cf qui a pour abscisse a.
Point Méthode :
Les antécédents d'un nombre b son les abscisses des points de Cf qui ont pour ordonnée b.
Résolution graphique d'inéquation
Point Méthode :
Tableau de signes
Définition : Le tableau de signes d'une fonction f est un tableau dans lequel on peut lire :
♦ L'ensemble de définition Df
♦ Les solutions de l'équation (E) : f(x)=0.
♦ Les solutions des inéquations (I1) : f(x)>0 (I2) : f(x)>0
Remarque :
Le tableau de signes d'une fonction permet de situer sa courbe par rapport à l'axe des abscisses.
Position relative
Positions relatives de deux courbes : Soit f et g deux fonctions, Cf et Cg leurs courbes représentatives.
♦ Les solututions de l'équation (E) : f(x)=g(x) sont les abscisses des points d'intersection de Cf et de Cg.
♦ Les solututions de l'inéquation (I1) : f(x)>g(x) sont les abscisses des points de Cf situés strictement au dessus de de Cg.
♦ Les solututions de l'inéquation (I2) : f(x)<g(x) sont les abscisses des points de Cf situés strictement au dessous de de Cg.
construire courbe
Remarque :
Pour pouvoir construire exactement la courbe d'une fonction il faudrait placer tous les points, ce qui n'est pas possible.....
Connaitre les variations de la fonction nous permet de construire une courbe plus proche de la réalité.
variations
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Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Définition : On dit que f est croissante sur I lorsque les images de n'importe quels nombres de I sont rangées dans le même ordre que ces nombres. Traduction en language mathématique : ∀ a et b ∈ I, si a < b alors f(a) < f(b). On dit aussi que f conserve l'ordre des nombres. |
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Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Définition : On dit que f est décroissante sur I orsque les images de n'importe quels nombres de I sont rangées dans l'ordre contraire de celui de ces nombres.
Traduction en language mathématique : ∀ a et b ∈ I, si a<b alors f(a) > f(b). On dit aussi que f change l'ordre des nombres. |
Extremums
Définition : Soit f une fonction, I un intervalle de Df . Soit x0 appartenant à I.
♦ Lorsque ∀ x ∈ I, f(x) ≤ f(x0), on dit que M=f(x0) est le maximum de f sur I.
♦ Lorsque ∀ x ∈ I, f(x) ≥ f(x0), on dit que m=f(x0) est le minimum de f sur I.
♦ Déterminer les extremums d'une fonction sur un intervalle I signifie déterminer son maximum et son minimum sur I (lorsqu'ils existent ).
tableau de variations
Définition : Le tableau de variations d'une fonction f est un tableau dans lequel on peut lire :
♦ L'ensemble de définition Df
♦ Les intervalles sur lesquels f est croissante et ceux sur lesquels f est décroissante
♦ Les extremums locaux de f.
Remarque :
Le tableau de variation de permet pas de construire exactement la courbe d'une fonction, mais nous permet de construire une courbe proche de celle de la fonction.
Point Méthode :
Les savoir-faire du chapitre.
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Les savoir-faire du Chapitre : Généralités sur les fonctions. |
♦ Savoir utiliser le vocabulaire des fonctions.
♦ Savoir calculer l'image d'un nombre par une fonction.
♦ Savoir calculer des antécédents d'un nombre par une fonction.
♦ Savoir déterminer si un point appartient ou non à la courbe représentative d'une fonction.
♦ Savoir déterminer graphiquement un ensemble de définition.
♦ Savoir déterminer graphiquement l'image d'un nombre par une fonction.
♦ Savoir déterminer graphiquement les antécédents d'un nombre.
♦ Savoir résoudre graphiquement une équation.
♦ Savoir résoudre graphiquement une inéquation.
♦ Savoir établir graphiquement un tableau de signes.
♦ Savoir résoudre graphiquement une équation avec deux fonctions.
♦ Savoir résoudre graphiquement une inéquation avec deux fonctions.
♦ Savoir compléter le tableau de variations d'une fonction.
♦ Savoir construire une courbe d'après un tableau de variations.
♦ Savoir déterminer graphiquement les extremums d'une fonction.
♦ Savoir comparer des images avec les variations d'une fonction.