Suites numériques
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I. Définition.
II. Deux différents modes de création d’une suite.
Suites définies par une formule explicite.
Suites définies par récurrence.
III. Représentation graphique d'une suite.
IV. Sens de variation d'une suite numérique.
V. Notion de limite d’une suite.
fibo
definition
Définition :
Une suite numérique (un) est une liste ordonnée de nombres réels telle qu'à tout entier n on associe un nombre réel noté un.
Le nombre un est appelé le terme de rang (ou d'indice ) n de cette suite.
Définition :
Une suite numérique peut être définie comme une fonction qui à tous entier naturel n ≥ n0 associe un nombre réel noté un.
un0 est appelé le terme initial de la suite.
Remarque : Attention : Ne pas confondre :
♦ (un) qui est la suite, l'ensemble de tous les termes.
♦ un qui est un terme, un élément de la suite.
explicite
Définition :
Définir une suite par une formule explicite c'est, pour tout entier naturel n donner une relation de la forme un=f(n).
où f est une fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [.
Remarque :
Lorsqu'on génère une suite par une formule explicite, chaque terme de la suite est exprimé en fonction de n et indépendamment des termes précédents.
Point Méthode : Calculer un terme d'une suite définie en fonction de n.
Point Méthode : Calculer avec des termes d'une suite.
Outil : Calculateur de termes d'une suite définie par une formule explicite :
recurrence
Définition :
Définir une suite par une formule de récurrence c'est donner la valeur du terme initial et un procédé qui permet de calculer un terme à partir du précédent.
On dit aussi que f est définie par une relation du type : u n+1 = f ( un)
Point Méthode : Calculer un terme d'une suite définie par récurrence
Point Méthode : Calculer avec les termes d'une suite définie par récurrence avec un algorithme.
Outil : Calculateur de termes d'une suite définie par récurrence
représentation
Définition :
Dans un repère du plan, on représente une suite (un) par le nuage de points de coordonnées ( n ; un), n ∈N
variations
Point Méthode : Exprimer u n+1 - un en fonction de n.
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Définition : Soit (un ) une suite numérique. ♦ On dit que (un) est croissante lorsque, pour tout n de ? , un+1 ≥ un. ♦ On dit que (un) est décroissante lorsque, pour tout n de ? , un+1 ≤ un.
Remarque :
♦ On dit que (un) est croissante à partir d'un rang p, lorsque, pour tout n ≥ p , un+1 ≥ un. ♦ On dit que (un) est décroissante à partir d'un rang p, lorsque, pour tout n ≥ p , un+1 ≤ un.
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Point Méthode : Étudier les variations d'une suite.
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Remarques :
♦ On dit que (un) est constante ( ou stationnaire ) à partir d'un rang p, lorsque, pour tout n ≥ p , un+1 = un. ♦ certaines suites ne sont ni croissantes, ni décroissantes.
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Variations fonctions
Propriété :
Soit une fonction f définie sur [0 ; +∞[ et une suite numérique (un) définie sur ? par un = f(n).
Soit un entier p.
♦ Si f est croissante sur l'intervalle [p ; +∞ [, alors la suite (un) est croissante à partir du rang p.
♦ Si f est décroissante sur l'intervalle [p ; +∞ [, alors la suite (un) est décroissante à partir du rang p.
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Remarque :
Attention la réciproque est fausse... ♦ (un) peut être croissante alors que f ne l'est pas. ♦ (un) peut être décroissante alors que f ne l'est pas.
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Limites
Définition : Soit (un) une suite numérique
Lorsque, quand n augmente indéfiniment, les termes de la suite se rapproche d'un nombre l,
en étant aussi proche qu'on le souhaite
on dit que la suite (un) converge vers l, ou que la limite de un lorsque n tend vers + est l.
on écrit lim (n→∞) un = l
Point Méthode : Étudier les variations d'une suite.
suites divergentes
Définition : Lorsqu'une suite (un) n'est pas convergente, on dit qu'elle est divergente.
♦ Suites divergentes telles que lim un = + ∞
Définition : Lorsqu'une suite ( un) est telle que un devient aussi grand qu'on le souhaite lorsque n devient grand,
(un) est divergente mais on dit que un a pour limite +∞ lorsque n tend vers +∞
et on écrit lim (n→+∞) un = +∞
♦ Suites divergentes sans limites
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Remarque :
il existe des suites divergentes qui n'ont pas de limite lorsque n tend vers +∞.
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Remarques :
Une fonction affine dont le coefficient directeur est non nul est une fonction dont l'expression est un polynôme du 1° degré.
Propriété : Soit f la fonction affine définie sur ? par f(x) = mx + p.
Pour tous nombres a et b ( a différent de b ) on a : m = (f(a)-f(b)) / (a-b)
Point Méthode :
Les savoir-faire du chapitre.
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Les savoir-faire du Chapitre : Suites numériques. |
♦ Savoir traduire une situation par une suite.
♦ Savoir calculer un terme d'une suite définie en fonction de n.
♦ Savoir exprimer un terme d'une suite en fonction de n.
♦ Savoir calculer les premiers termes d'une suite définie par récurrence.
♦ Savoir calculer un terme d'une suite par récurrence avec un algorithme.
♦ Savoir étudier les variations d'une suite.
♦ Savoir étudier les variations d'une suite à l'aide d'une fonction associée.
♦ Savoir représenter une suite.
♦ Savoir construire les termes d'une suite définie par récurrence.
♦ Savoir déterminer la limite d'une suite.